Question

6．如圖，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，點(diǎn)E在AB上，EF⊥DC于點(diǎn)F，在邊AD，DF，EF，AE上分別存在點(diǎn)M，N，P，Q，這四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形與矩形BCFE全等，則DM的長(zhǎng)度為$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 設(shè)DM=x，DN=y，則AM=4-x，根據(jù)題意得出四邊形MNPQ≌矩形BCFE，得出△AMQ≌△FPN，PN=FC，MN=BC=4，∠MNO=∠PFN=∠D=90°，得出AM=FP=4-x，證明△DMN∽△FNP，得出對(duì)應(yīng)邊成比例$\frac{DM}{FN}=\frac{DN}{PF}=\frac{MN}{PN}$，得出FN=$\frac{x（4-x）}{y}$，PN=$\frac{4（4-x）}{y}$，根據(jù)題意得出方程組，解方程組即可．

解答 解：如圖所示
設(shè)DM=x，DN=y，則AM=4-x，
根據(jù)題意得：四邊形MNPQ≌矩形BCFE，
∴△AMQ≌△FPN，PN=FC，MN=BC=4，∠MNO=∠PFN=∠D=90°，
∴AM=FP=4-x，∠DMN=∠PNF，
∴△DMN∽△FNP，
∴$\frac{DM}{FN}=\frac{DN}{PF}=\frac{MN}{PN}$，
即$\frac{x}{FN}=\frac{y}{4-x}=\frac{4}{PN}$，
∴FN=$\frac{x（4-x）}{y}$，PN=$\frac{4（4-x）}{y}$，
根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=16}\\{y+\frac{x（4-x）}{y}+\frac{4（4-x）}{y}=6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{7}}\\{y=3}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=0}\end{array}\right.$（舍去），
∴DM=$\sqrt{7}$；
故答案為：$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、方程組的解法等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，證明三角形相似，根據(jù)題意得出方程組是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．