Question

【題目】綜合與探究

如圖，已知拋物線y＝﹣x2﹣2x+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．其頂點(diǎn)為D，對(duì)稱(chēng)軸是直線l，且與x軸交于點(diǎn)H．

（1）求點(diǎn)A，B，C，D的坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)P是該拋物線對(duì)稱(chēng)軸l上的﹣個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△PBC周長(zhǎng)的最小值；

（3）若點(diǎn)E是線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（E與A．C不重合），過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線，與拋物線交于點(diǎn)F，與x軸交于點(diǎn)G．則在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在EF＝2EG？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)A坐標(biāo)為（﹣3，0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（﹣1，0）．點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，3）．點(diǎn)D坐標(biāo)為（﹣1，4）；（2）△PBC周長(zhǎng)的最小值為；（3）存在點(diǎn)E（﹣2，1），使得EF＝2EG．

【解析】

（1）當(dāng)y=0時(shí)，-x2-2x+3=0，求得：點(diǎn)A坐標(biāo)為（-3，0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（-1，0）；令x=0，求得C坐標(biāo)為（0，3）；化為頂點(diǎn)式即可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）△PBC的周長(zhǎng)為PB+PC+BC，BC為定值，當(dāng)PB+PC最小時(shí)，△PBC的周長(zhǎng)最�。�即可求解；

（3）設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為（x，x+3），點(diǎn)F（x，-x2-2x+3），則EF=（-x2-2x+3）-（x+3）=-x2-3x，EG=x+3，即可求解．

（1）當(dāng)y＝0時(shí)，﹣x2﹣2x+3＝0，

解得x1＝﹣3，x2＝1，∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（﹣3，0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（﹣1，0）．

當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，3）．

∵y＝﹣（x+1）2+4

∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（﹣1，4）；

（2）△PBC的周長(zhǎng)為PB+PC+BC，

∵BC為定值，∴當(dāng)PB+PC最小時(shí)，△PBC的周長(zhǎng)最�。�

∵點(diǎn)A，點(diǎn)B關(guān)于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸l對(duì)稱(chēng)，

∴連接AC，交l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求的點(diǎn)．

∵AP＝BP，∴PB+PC+BC＝AC+BC．

∵A（﹣3，0），B（﹣1，0），C（0，3），

∴AC＝，BC＝，

∴△PBC周長(zhǎng)的最小值為；

（3）設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b，得．

解得k＝1，b＝3．

∴直線AC的解析式為y＝x+3．

設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為（x，x+3），點(diǎn)F（x，﹣x2﹣2x+3），

則EF＝（﹣x2﹣2x+3）﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x，EG＝x+3．

當(dāng)EF＝2EG時(shí)，有﹣x2﹣3x＝2（x+3）．

解得x1＝﹣2，x2＝﹣3（舍去）

當(dāng)x＝﹣2時(shí)，點(diǎn)E坐標(biāo)為（﹣2，1）．

∴存在點(diǎn)E（﹣2，1），使得EF＝2EG．