Question

2．如果已知反比例函數(shù)y=$\frac{1-2m}{x}$（m為常數(shù)）的圖象在平面直角坐標(biāo)系的第一、三象限，若該反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過平行四邊形ABOD的頂點D，點A，B的坐標(biāo)分別為（0，3），（-2，0）．
（1）求出該反比例函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)點P是該反比例函數(shù)圖象上的一點，且OD=OP
①則所有滿足條件的P點坐標(biāo)為（-2，-3），（3，2），（-3，-2）；
②若以D，O，P為頂點的三角形是等腰三角形，則滿足條件的點P的個數(shù)為4個．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得AD∥OB，AD=OB=2，易得D點坐標(biāo)為（2，3），然后根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征得1-2m=6，則反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{6}{x}$；
（2）①根據(jù)反比例函數(shù)的圖象關(guān)于原點中心對稱可得點D關(guān)于原點的對稱點P滿足OP=OD，則此時P點坐標(biāo)為（-2，-3）；再根據(jù)反比例函數(shù)y=$\frac{6}{x}$的圖象關(guān)于直線y=x對稱，可得點D（2，3）關(guān)于直線y=x對稱點P滿足OP=OD，此時P點坐標(biāo)為（3，2），易得點（3，2）關(guān)于原點的對稱點P也滿足OP=OD，此時P點坐標(biāo)為（-3，-2）；
②由于以D、O、P為頂點的三角形是等腰三角形，所以以D點為頂點可畫出點P₁，P₂；以O(shè)點頂點可畫出點P₃，P₄，如圖．

解答 解：（1）∵四邊形ABOD為平行四邊形，
∴AD∥OB，AD=OB=2，
又∵A點坐標(biāo)為（0，3），
∴D點坐標(biāo)為（2，3），
∴1-2m=2×3=6，
∴反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{6}{x}$

（2）①∵反比例函數(shù)y=$\frac{6}{x}$的圖象關(guān)于原點中心對稱，
∴當(dāng)點P與點D關(guān)于原點對稱，則OD=OP，此時P點坐標(biāo)為（-2，-3），
∵反比例函數(shù)y=$\frac{6}{x}$的圖象關(guān)于直線y=x對稱，
∴點P與點D（2，3）關(guān)于直線y=x對稱時滿足OP=OD，
此時P點坐標(biāo)為（3，2），
點（3，2）關(guān)于原點的對稱點也滿足OP=OD，
此時P點坐標(biāo)為（-3，-2），
綜上所述，P點的坐標(biāo)為（-2，-3），（3，2），（-3，-2）；
②由于以D、O、P為頂點的三角形是等腰三角形，則以D點為圓心，DO為半徑畫弧交反比例函數(shù)圖象于點P₁，P₂，則點P₁，P₂滿足條件；以O(shè)點為圓心，OD為半徑畫弧交反比例函數(shù)圖象于點P₃，P₄，則點P₃，P₄也滿足條件，如圖，作線段OD的垂直平分線，與反比例函數(shù)的圖象無交點．
故答案是：①（-2，-3），（3，2），（-3，-2）；②4．

點評 本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)和其圖象上點的坐標(biāo)特征、平行四邊形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)；會運用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問題．