Question

（1）已知：如圖1，點C為線段AB上一點，△ACM，△CBN是等邊三角形，求證：AN=BM，這時可以證明

 

，得到AN=BM．
（2）如果去掉“點C為線段AB上一點”的條件，而是讓△CBN繞點C旋轉(zhuǎn)成圖2的情形，還有“AN=BM”的結(jié)論嗎？如果有，請給予證明．
（3）如圖3，仍保留原題的所有條件，并設(shè)AN、BM交于點F，連接CF，請用刻度尺度量BF、CF、NF的大小，不難發(fā)現(xiàn)：BF=CF+NF，為什么？請給予證明

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）由△ACM和△CBN都是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的邊長相等分別得到邊長相等，三個內(nèi)角相等，由∠ACM和∠NCB相等，兩邊加上∠MCN，得到∠ACN與∠MCB相等，利用SAS即可得到三角形ACN與三角形MCB全等，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等即可得證；
（2）由△ACM和△CBN都是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的邊長相等分別得到邊長相等，三個內(nèi)角相等，由∠ACM和∠NCB相等，兩邊加上∠MCN，得到∠ACN與∠MCB相等，利用SAS即可得到三角形ACN與三角形MCB全等，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等即可得證．
（3）在BF上截取EF=FN，連接NE，通過平行線和等邊三角形先證明∠NFB=60°，進(jìn)而證得△EFN是等邊三角形，得出FN=EN，∠FNE=∠CNB=60°，然后根據(jù)等量減等量求得∠FNC=∠ENB，從而求得△FNC≌△ENB，通過三角形全等求得結(jié)論；

解答：答：（1）△ACN≌△MCB；
證明：∵△ACM，△CBN是等邊三角形，
∴AC=CM，CN=BC，∠ACM=∠BCN=60°，
又∠ACN=∠MCN+∠ACM=∠MCN+60°，∠MCB=∠MCN+∠BCN=∠MCN+60°，
∴∠ACN=∠MCB，
在△ACN和△MCB中

AC=MC ∠ACN=∠MCB CN=CB

，
∴△ACN≌△MCB（SAS），
∴AN=BM；

（2）還有“AN=BM”的結(jié)論；
證明：∵△ACM，△CBN是等邊三角形，
∴AC=CM，CN=BC，∠ACM=∠BCN=60°，
又∠ACN=∠MCN+∠ACM=∠MCN+60°，∠MCB=∠MCN+∠BCN=∠MCN+60°，
在△ACN和△MCB中

AC=MC ∠ACN=∠MCB CN=CB

，
∴△ACN≌△MCB（SAS），
∴AN=BM．

（3）解：如圖3，在BF上截取EF=FN，連接NE，
∵△ACM，△CBN是等邊三角形，
∴∠MAC=∠NCB=60°，
∴AM∥CN，
∴∠MAN=∠ANC，
∵由（1）可知△ACN≌△MCB，
∴∠ANC=∠MBC，
∴∠MAN=∠MBC，
∵∠NFB=∠FAB+∠MBC，
∴∠NFB=∠FAB+∠MAN=∠MAC=60°，
∵EF=FN，
∴△EFN是等邊三角形，
∴FN=EN，∠FNE=∠CNB=60°，
∴∠FNC=∠ENB，
在△FNC與△ENB中

FN=EN ∠FNC=∠ENB NC=NB

，
∴△FNC≌△ENB（SAS），
∴FC=EB，
∵FB=FE+EB，F(xiàn)N=FE，
∴BF=FN+FC．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)；可圍繞結(jié)論尋找全等三角形，運用全等三角形的性質(zhì)判定線段相等，證得三角形全等是正確解答本題的關(guān)鍵．