【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A(﹣1,0),B(3,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,3),頂點(diǎn)為G.
(1)求拋物線和直線AC的解析式;
(2)如圖,設(shè)E(m,0)為x軸上一動點(diǎn),若△CGE和△CGO的面積滿足S△CGE=S△CGO,求點(diǎn)E的坐標(biāo);
(3)如圖,設(shè)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以每秒1個單位長度的速度沿x軸向右運(yùn)動,運(yùn)動時(shí)間為ts,點(diǎn)M為射線AC上一動點(diǎn),過點(diǎn)M作MN∥x軸交拋物線對稱軸右側(cè)部分于點(diǎn)N.試探究點(diǎn)P在運(yùn)動過程中,是否存在以P,M,N為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形?若存在,求出t的值;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)拋物線解析式為:y=﹣x2+2x+3;直線AC解析式為:y=3x+3;(2)點(diǎn)E坐標(biāo)為(1,0)或(﹣7,0);(3)存在以P,M,N為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形,t的值為或或.
【解析】
(1)用待定系數(shù)法即能求出拋物線和直線AC解析式.
(2)△CGE與△CGO雖然有公共底邊CG,但高不好求,故把△CGE構(gòu)造在比較好求的三角形內(nèi)計(jì)算.延長GC交x軸于點(diǎn)F,則△FGE與△FCE的差即為△CGE.
(3)設(shè)M的坐標(biāo)(e,3e+3),分別以M、N、P為直角頂點(diǎn)作分類討論,利用等腰直角三角形的特殊線段長度關(guān)系,用e表示相關(guān)線段并列方程求解,再根據(jù)e與AP的關(guān)系求t的值.
(1)∵拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)A(-1,0),B(3,0),C(0,3),
, 解得:,
∴拋物線解析式為:y=-x2+2x+3,
設(shè)直線AC解析式為y=kx+3,
∴-k+3=0,得:k=3,
∴直線AC解析式為:y=3x+3.
(2)延長GC交x軸于點(diǎn)F,過G作GH⊥x軸于點(diǎn)H,
∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,
∴G(1,4),GH=4,
∴S△CGO=OCxG=×3×1=,
∴S△CGE=S△CGO=×=2,
①若點(diǎn)E在x軸正半軸上,
設(shè)直線CG:y=k1x+3,
∴k1+3=4 得:k1=1,
∴直線CG解析式:y=x+3,
∴F(-3,0),
∵E(m,0),
∴EF=m-(-3)=m+3,
∴S△CGE=S△FGE-S△FCE=EFGH-EFOC=EF(GH-OC)=(m+3)(4-3)=,
∴=2,解得:m=1,
∴E的坐標(biāo)為(1,0).
②若點(diǎn)E在x軸負(fù)半軸上,則點(diǎn)E到直線CG的距離與點(diǎn)(1,0)到直線CG距離相等,
即點(diǎn)E到F的距離等于點(diǎn)(1,0)到F的距離,
∴EF=-3-m=1-(-3)=4,
解得:m=-7 即E(-7,0),
綜上所述,點(diǎn)E坐標(biāo)為(1,0)或(-7,0).
(3)存在以P,M,N為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形,
設(shè)M(e,3e+3),則yN=yM=3e+3,
①若∠MPN=90°,PM=PN,如圖2,過點(diǎn)M作MQ⊥x軸于點(diǎn)Q,過點(diǎn)N作NR⊥x軸于點(diǎn)R,
∵MN∥x軸,
∴MQ=NR=3e+3,
∴Rt△MQP≌Rt△NRP(HL),
∴PQ=PR,∠MPQ=∠NPR=45°,
∴MQ=PQ=PR=NR=3e+3,
∴xN=xM+3e+3+3e+3=7e+6,即N(7e+6,3e+3),
∵N在拋物線上,
∴-(7e+6)2+2(7e+6)+3=3e+3,
解得:e1=-1(舍去),e2=,
∵AP=t,OP=t-1,OP+OQ=PQ,
∴t-1-e=3e+3,
∴t=4e+4=,
②若∠PMN=90°,PM=MN,如圖3,
∴MN=PM=3e+3,
∴xN=xM+3e+3=4e+3,即N(4e+3,3e+3),
∴-(4e+3)2+2(4e+3)+3=3e+3,
解得:e1=-1(舍去),e2=,
∴t=AP=e-(-1)=+1=,
③若∠PNM=90°,PN=MN,如圖4,
∴MN=PN=3e+3,N(4e+3,3e+3),
解得:e=,
∴t=AP=OA+OP=1+4e+3=,
綜上所述,存在以P,M,N為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形,t的值為或或.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一條拋物線與x軸相交于M,N兩點(diǎn)(點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)),其頂點(diǎn)P在線段AB上移動,點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(-2,-3),(1,-3),點(diǎn)N的橫坐標(biāo)的最大值為4,則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的最小值為( )
A.-1 B.-3C.-5D.-7
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某養(yǎng)殖戶每年的養(yǎng)殖成本包括固定成本和可變成本,其中固定成本每年均為4萬元,可變成本逐年增長,已知該養(yǎng)殖戶第一年的可變成本為2.6萬元,設(shè)可變成本平均每年增長的百分率為
(1)用含x的代數(shù)式表示低3年的可變成本為 萬元;
(2)如果該養(yǎng)殖戶第3年的養(yǎng)殖成本為7.146萬元,求可變成本平均每年的增長百分率x.
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【題目】由于霧霾天氣頻發(fā),市場上防護(hù)口罩出現(xiàn)熱銷,某醫(yī)藥公司每月固定生產(chǎn)甲、乙兩種型號的防霧霾口罩共20萬只,且所有產(chǎn)品當(dāng)月全部售出,原料成本、銷售單價(jià)及工人生產(chǎn)提成如表:
甲 | 乙 | |
原料成本 | 12 | 8 |
銷售單價(jià) | 18 | 12 |
生產(chǎn)提成 | 1 | 0.8 |
(1)若該公司五月份的銷售收入為300萬元,求甲、乙兩種型號的產(chǎn)品分別是多少萬只?
(2)公司實(shí)行計(jì)件工資制,即工人每生產(chǎn)一只口罩獲得一定金額的提成,如果公司六月份投入總成本(原料總成本+生產(chǎn)提成總額)不超過239萬元,應(yīng)怎樣安排甲、乙兩種型號的產(chǎn)量,可使該月公司所獲利潤最大?并求出最大利潤(利潤=銷售收入﹣投入總成本)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】自我省深化課程改革以來,盤錦市某校開設(shè)了:A.利用影長求物體高度,B.制作視力表,C.設(shè)計(jì)遮陽棚,D.制作中心對稱圖形,四類數(shù)學(xué)實(shí)踐活動課.規(guī)定每名學(xué)生必選且只能選修一類實(shí)踐活動課,學(xué)校對學(xué)生選修實(shí)踐活動課的情況進(jìn)行抽樣調(diào)查,將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.
根據(jù)圖中信息解決下列問題:
(1)本次共調(diào)查______名學(xué)生,扇形統(tǒng)計(jì)圖中B所對應(yīng)的扇形的圓心角為______度;
(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)該校參加實(shí)踐活動課的學(xué)生共1200人,求該校參加D類實(shí)踐活動課的學(xué)生大約多少人?
(4)選修D類數(shù)學(xué)實(shí)踐活動的學(xué)生中有2名女生和2名男生表現(xiàn)出色,現(xiàn)從4人中隨機(jī)抽取2人做校報(bào)設(shè)計(jì),請用列表或畫樹狀圖法求所抽取的兩人恰好是1名女生和1名男生的概率.
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【題目】如圖,一面利用墻,用籬笆圍成的矩形花圃ABCD的面積為Sm2,與墻垂直的AB邊長為xm.若墻可利用的最大長度為13m,籬笆總長為24m,花圃中間用一道籬笆隔成兩個小矩形.
(1)求S與x之間的函數(shù)表達(dá)式;
(2)當(dāng)圍成的花圃的面積為45m2時(shí),求AB的長;
(3)當(dāng)x為何值時(shí),圍成的花圃ABCD的面積最大,最大是多少?
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【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于點(diǎn)D,點(diǎn)E是直線AC上一動點(diǎn),連接DE,過點(diǎn)D作FD⊥ED,交直線BC于點(diǎn)F.
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時(shí),求證:△DEC∽△DFB.
(2)當(dāng)點(diǎn)E在線段AC的延長線上時(shí),(1)中的結(jié)論是否仍然成立?若成立,請結(jié)合圖2給出證明;若不成立,請說明理由;
(3)若AC=,BC=2,DF=4,請直接寫出CE的長.
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【題目】如圖,已知圓錐的底面半徑是2,母線長是6.
(1)求這個圓錐的高和其側(cè)面展開圖中∠ABC的度數(shù);
(2)如果A是底面圓周上一點(diǎn),從點(diǎn)A拉一根繩子繞圓錐側(cè)面一圈再回到A點(diǎn),求這根繩子的最短長度.
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【題目】如圖,平面直角坐標(biāo)系中,△ABC的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(﹣1,﹣2),B(﹣2,﹣4),C(﹣4,﹣1).
(1)在平面直角坐標(biāo)系中畫出與△ABC關(guān)于點(diǎn)P(1,0)成中心對稱的△A'B'C',并分別寫出點(diǎn)A',B',C'的坐標(biāo);
(2)如果點(diǎn)M(a,b)是△ABC邊上(不與A,B,C重合)任意一點(diǎn),請寫出在△A'B'C'上與點(diǎn)M對應(yīng)的點(diǎn)M'的坐標(biāo).
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