Question

如圖，扇形OAB中，∠AOB=60°，扇形半徑為4，點(diǎn)C在

AB

上，CD⊥OA，垂足為點(diǎn)D，當(dāng)△OCD的面積最大時，圖中陰影部分的面積為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：扇形面積的計算,二次函數(shù)的最值,勾股定理

專題：幾何圖形問題

分析：由OC=4，點(diǎn)C在

AB

上，CD⊥OA，求得DC=

OC2-OD2

=

16-OD2

，運(yùn)用S_△OCD=

1

2

OD•

16-OD2

，求得OD=2

2

時△OCD的面積最大，運(yùn)用陰影部分的面積=扇形AOC的面積-△OCD的面積求解．

解答：解：∵OC=4，點(diǎn)C在

AB

上，CD⊥OA，
∴DC=

OC2-OD2

=

16-OD2

∴S_△OCD=

1

2

OD•

16-OD2

∴S△OCD2=

1

4

OD²•（16-OD²）=-

1

4

OD⁴+4OD²=-

1

4

（OD²-8）²+16
∴當(dāng)OD²=8，即OD=2

2

時△OCD的面積最大，
∴DC=

OC2-OD2

=

16-OD2

=2

2

，
∴∠COA=45°，
∴陰影部分的面積=扇形AOC的面積-△OCD的面積=

45π×42

360

-

1

2

×2

2

×2

2

=2π-4，
故答案為：2π-4．

點(diǎn)評：本題主要考查了扇形的面積，勾股定理，解題的關(guān)鍵是求出OD=2

2

時△OCD的面積最大．