Question

19．如圖，△ABC和△ACD都是邊長為2厘米的等邊三角形，兩個動點(diǎn)P，Q同時從A點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)P以0.5厘米/秒的速度沿A→C→B的方向運(yùn)動，點(diǎn)Q以1厘米/秒的速度沿A→B→C→D的方向運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動到D點(diǎn)時，P、Q兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動．設(shè)P、Q運(yùn)動的時間為t秒
（1）當(dāng)t=2時，PQ=$\sqrt{3}$；
（2）求點(diǎn)P、Q從出發(fā)到相遇所用的時間；
（3）當(dāng)t取何值時，△APQ是等邊三角形；請說明理由；
（4）當(dāng)P在線段AC上運(yùn)動時，是否存在t使△APQ是直角三角形？若存在請直接寫出t的值或t的取值范圍，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出AP，AQ的長度，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到△APQ為直角三角形，利用勾股定理即可解答；
（2）△ABC是等邊三角形，邊長是2厘米．點(diǎn)P、Q從出發(fā)到相遇，即兩人所走的路程的和是6cm．設(shè)從出發(fā)到相遇所用的時間是t秒．列方程就可以求出時間．
（3）當(dāng)P在AC上，Q在AB上時，AP≠AQ，則一定不是等邊三角形，當(dāng)△APQ是等邊三角形時，Q一定在邊CD上，P一定在邊CB上，若△APQ是等邊三角形，則CP=DQ，根據(jù)這個相等關(guān)系，就可以得到一個關(guān)于t的方程，就可以得到t的值．
（4）P在線段AC上運(yùn)動時，存在t使△APQ是直角三角形，t的取值范圍：0＜t＜4．

解答 解：（1）當(dāng)t=2時，AP=2×0.5=1厘米，AQ=2×1=2厘米，
如圖1，

∵△ABC是邊長為2厘米的等邊三角形，
∴PQ⊥AC，
∴PQ=$\sqrt{A{B}^{2}-A{P}^{2}}=\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}=\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$．
（2）由0.5t+t=6，
解得t=4．
（3）當(dāng)0≤t≤4時，都不存在；
當(dāng)4＜t≤6時，如圖2，若△APQ是等邊三角形，

此時點(diǎn)P在BC上，點(diǎn)Q在CD上，且△ADQ≌△ACP，
則CP=DQ，
即6-t=0.5t-2，
解得：$t=\frac{16}{3}$．
（4）P在線段AC上運(yùn)動時，存在t使△APQ是直角三角形，
t的取值范圍：0＜t＜4．

點(diǎn)評 此題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)已知圖形得出對應(yīng)線段關(guān)系是解題關(guān)鍵．