Question

11．有一副直角三角板，在三角板ABC中，∠BCA=90°，BC=4cm，AC=4$\sqrt{3}$cm．在三角板DEF中，∠FDE=90°，DF=DE=4cm．將這副直角三角板按如圖（1）所示位置擺放，點(diǎn)C與點(diǎn)D重合，直角邊BC與DE在同一條直線上．現(xiàn)固定三角板DEF，將三角板ABC沿射線DE方向以1cm/秒的速度平行移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．

（1）如圖（2），當(dāng)三角板ABC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C與點(diǎn)E重合時(shí)，設(shè)EF與BA交于點(diǎn)M，則$\frac{FM}{ME}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（2）如圖（3），在三角板ABC運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)t為何值時(shí)，AB經(jīng)過點(diǎn)F；
（3）在三角板ABC運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)兩塊三角板重疊部分的面積為y，且0≤t≤4，求y與t的函數(shù)解析式，并求出對(duì)應(yīng)的t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行線分線段成比例定理，列出比例式即可解決問題．
（2）由DF∥AC，得$\frac{DF}{AC}$=$\frac{BD}{BC}$，求出BD，再求出CD即可解決問題．
（3）分兩種情形：①當(dāng)0≤t≤4-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，如圖（4）中，重疊部分是梯形CDFM，②當(dāng)4-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$＜t≤4時(shí)，重疊部分是五邊形DCMGH，分別計(jì)算即可．

解答 解：（1）如圖（2）中，

∵AC∥DF，
∴$\frac{FM}{ME}$=$\frac{DF}{AC}$=$\frac{4}{4\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

（2）如圖（3）中，

∵DF∥AC，
∴$\frac{DF}{AC}$=$\frac{BD}{BC}$，
∴$\frac{4}{4\sqrt{3}}$=$\frac{BD}{4}$，
∴BD=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴CD=BC-BD=4-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴t=（4-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）÷1=4-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

（3）①當(dāng)0≤t≤4-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，如圖（4）中，重疊部分是梯形CDFM．

y=$\frac{1}{2}$（DF+CM）•CD=$\frac{1}{2}$（4+4-t）•t═-$\frac{1}{2}$t²+8．
②當(dāng)4-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$＜t≤4時(shí)，重疊部分是五邊形DCMGH，

作DN⊥AC于N，設(shè)GN=NM=x，則AN=$\sqrt{3}$x，
由題意x+$\sqrt{3}$x=4$\sqrt{3}$-（4-t），
解得x=$\frac{4\sqrt{3}-（4-t）}{\sqrt{3}+1}$，
y=S_△ABC-S_△BDH-S_△AGM=8$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$（4-t）•$\sqrt{3}$（4-t）-$\frac{1}{2}$•[4$\sqrt{3}$-（4-t）]•$\frac{4\sqrt{3}-（4-t）}{\sqrt{3}+1}$=-$\frac{1-3\sqrt{3}}{4}$（4-t）²+（6-2$\sqrt{3}$）（4-t）+12-4$\sqrt{3}$．
綜上所述y=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}{t}^{2}+8}&{（0≤t≤4-\frac{4\sqrt{3}}{3}）}\\{\frac{1-3\sqrt{3}}{4}（4-t）^{2}+（6-2\sqrt{3}）（4-t）+12-4\sqrt{3}}&{（4-\frac{4\sqrt{3}}{3}＜t≤4）}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查相似三角形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、特殊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活靈活應(yīng)用這些知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)分類討論，學(xué)會(huì)利用分割法求多邊形面積，屬于中考?jí)狠S題．