Question

9．如圖，tan∠GAB=$\frac{3}{4}$，AB=10cm，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以5cm/s的速度沿BA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q以相同的速度從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AG運(yùn)動(dòng)，分別以PB、PQ為邊作等邊△BPD，正方形PQEF，連接PE，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts．
（1）當(dāng)PE⊥AG時(shí)，求t的值；
（2）當(dāng)△APQ是等腰三角形時(shí)，求t的值；
（3）當(dāng)點(diǎn)F落在△BPD的邊上時(shí)，請(qǐng)直接寫出t的值．

Answer 1

分析 （1）如圖1，設(shè)PE交AG于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)Q作QN⊥AP于N，在RT△ANQ中，tan∠GAB=$\frac{3}{4}$，設(shè)QN=3k，AN=4k，則AQ=5k，列出方程即可角問(wèn)題．
（2）如圖2中，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥AP于H，分三種情形①當(dāng)AQ=AP時(shí)，②當(dāng)AP=PQ時(shí)，③當(dāng)AQ=PQ時(shí)，列出方程即可．
（3））①如圖3中，當(dāng)點(diǎn)F在直線PD上時(shí)，作QH⊥AB于H，②如圖4中，當(dāng)點(diǎn)F在直線PB上時(shí)，③如圖5中，當(dāng)點(diǎn)F在BD邊上時(shí)，作QH⊥AB于H，F(xiàn)M⊥AB于M．
分別列出方程即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）如圖1，設(shè)PE交AG于點(diǎn)M．

∵四邊形PQEF是正方形，
∴PE⊥FQ，
∴當(dāng)PE⊥AG時(shí)，點(diǎn)F在AG上，
∴PM=MQ，
過(guò)點(diǎn)Q作QN⊥AP于N，在RT△ANQ中，tan∠GAB=$\frac{3}{4}$，設(shè)QN=3k，AN=4k，則AQ=5k，
∴sin∠MAP=$\frac{3}{5}$，cos∠MAP=$\frac{4}{5}$，
∵AP=10-5t，
∴MQ═PM=AP•sin∠MAP=6-3t，AM=AP•cos∠MAP=8-4t，
∵AQ=5t，
∴5t+（6-3t）=8-4t，
∴t=$\frac{1}{3}$．
（2）如圖2中，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥AP于H，

在RT△AQH中，AQ=5t，
∴AH=AQ•sin∠MAP=5t$•\frac{4}{5}$=4t，QH=AQ•sin∠MAP=3t，
∵AP=10-5t，
∴HP=10-9t，
在RT△PQH中，∵∠PHQ=90°，
∴PQ²=HQ²+PH²=（10-9t）²+（3t）²=90t²-180t+100，
①當(dāng)AQ=AP時(shí)，10-5t=5t，解得t=1，
②當(dāng)AP=PQ時(shí)，（10-5t）²=90t²-180t+100，解得t=$\frac{16}{13}$（或0舍棄），
③當(dāng)AQ=PQ時(shí)，10-5t=3t，解得t=$\frac{10}{13}$，
綜上所述，當(dāng)△APQ是等腰三角形時(shí)，t的值為1s，$\frac{16}{13}$s，$\frac{10}{13}$s．
（3）①如圖3中，當(dāng)點(diǎn)F在直線PD上時(shí)，作QH⊥AB于H，

∵∠QOH+∠DPB=90°，∠DPB=60°，
∴∠QPH=30°，
∴PF=PQ=2QH=6t＞5t，
∴PF＞PD，
這種情形不符合題意．
②如圖4中，當(dāng)點(diǎn)F在直線PB上時(shí)，

在RT△AQP中，∵AQ=5t．AP=4t，
又∵AP=10-5t，
∴4t=10-5t，
∴t=$\frac{10}{9}$，此時(shí)PQ=4t＜5t，符合題意．
③如圖5中，當(dāng)點(diǎn)F在BD邊上時(shí)，作QH⊥AB于H，F(xiàn)M⊥AB于M．

由△QPH≌△PFM，得到QH=PM=3t，HP=FN=10-5t-4t=10-9t，
在RT△FNB中，∵∠B=60°，
∴BM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$FM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（10-9t），
∵PM+BM=PB，
∴3t+$\frac{\sqrt{3}}{3}$（10-9t）=5t，
∴t=$\frac{10}{9+2\sqrt{3}}$．
綜上所述t=$\frac{10}{9}$s或$\frac{10}{9+2\sqrt{3}}$s時(shí)，點(diǎn)F落在△BPD的邊上．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四邊形綜合題、正方形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、勾股定理．相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)分類討論，學(xué)會(huì)利用圖象解決問(wèn)題，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程是思考，屬于中考?jí)狠S題．