Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+1經(jīng)過點(diǎn)A（4，﹣3），頂點(diǎn)為點(diǎn)B，點(diǎn)P為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，l是過點(diǎn)（0，2）且垂直于y軸的直線，過P作PH⊥l，垂足為H，連接PO．
（1）求拋物線的解析式，并寫出其頂點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）①當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)處時(shí)，計(jì)算：PO= ， PH= ， 由此發(fā)現(xiàn)，POPH（填“＞”、“＜”或“=”）；
②當(dāng)P點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，猜想PO與PH有什么數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；
（3）如圖2，設(shè)點(diǎn)C（1，﹣2），問是否存在點(diǎn)P，使得以P，O，H為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=ax2+1經(jīng)過點(diǎn)A（4，﹣3），

∴﹣3=16a+1，

∴a=﹣ ，

∴拋物線解析式為y=﹣ x2+1，頂點(diǎn)B（0，1）．

（2）①5；5；=；②結(jié)論：PO=PH．
理由：設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)（m，﹣ m2+1），
∵PH=2﹣（﹣ m2+1）= m2+1
PO= = m2+1，
∴PO=PH
（3）

解：∵BC= = ，AC= = ，AB= =4

∴BC=AC，

∵PO=PH，

又∵以P，O，H為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，

∴PH與BC，PO與AC是對(duì)應(yīng)邊，

∴ ，設(shè)點(diǎn)P（m，﹣ m2+1），

∴ ，

解得m=±1，

∴點(diǎn)P坐標(biāo)（1， ）或（﹣1， ）．

【解析】（2）①當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)處時(shí)，∵PO=5，PH=5，
∴PO=PH，
故答案分別為5，5，=．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．