【題目】探究

問題1 已知:如圖1,三角形ABC中,點(diǎn)DAB邊的中點(diǎn),AE⊥BC,BF⊥AC,垂足分別為點(diǎn)E,F(xiàn),AE,BF交于點(diǎn)M,連接DE,DF.若DE=kDF,則k的值為   

拓展

問題2 已知:如圖2,三角形ABC中,CB=CA,點(diǎn)DAB邊的中點(diǎn),點(diǎn)M在三角形ABC的內(nèi)部,且∠MAC=∠MBC,過點(diǎn)M分別作ME⊥BC,MF⊥AC,垂足分別為點(diǎn)E,F(xiàn),連接DE,DF.求證:DE=DF.

推廣

問題3 如圖3,若將上面問題2中的條件“CB=CA”變?yōu)?/span>“CB≠CA”,其他條件不變,試探究DEDF之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

【答案】(1)1;(2)證明見解析;(3)DE=DF,理由見解析.

【解析】

(1)利用直角三角形的性質(zhì)“直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半”得到DE=DF;

(2)利用等腰三角形的性質(zhì)和判定得出結(jié)論,從而判定△MEB≌△MFA(AAS),得到DE=DF.

(3)利用三角形的中位線和直角三角形的性質(zhì)根據(jù)SAS證明△DHE≌△FGD可得.

(1)∵AE⊥BC,BF⊥AC

∴△AEB和AFB都是直角三角形

D是AB的中點(diǎn)

DE和DF分別為RtAEB和RtAFB的斜邊中線

∴DE=AB,DF=AB(直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半)

∴DE=DF

∵DE=kDF

∴k=1

(2)∵CB=CA

∴∠CBA=∠CAB

∵∠MAC=∠MB

∴∠CBA﹣∠MBC=∠CAB﹣∠MAC

∠ABM=∠BAM

∴AM=BM

∵M(jìn)E⊥BC,MF⊥AC

∴∠MEB=∠MFA=90

∵∠MBE=∠MAF

∴△MEB≌△MFA(AAS)

∴BE=AF

D是AB的中點(diǎn),即BD=AD

∵∠DBE=∠DAF

∴△DBE≌△DAF(SAS)

∴DE=DF

(3)DE=DF

如圖1,作AM的中點(diǎn)G,BM的中點(diǎn)H,

點(diǎn) D是 邊 AB的 中點(diǎn)

∴DG∥BM,DG=BM

同理可得:DH∥AM,DH=AM

∵M(jìn)E⊥BC于E,H 是BM的中點(diǎn)

在RtBEM中,HE=BM=BH

∴∠HBE=∠HEB

∠MHE=∠HBE+∠HEB=2∠MBC

∵DG=BM,HE=BM

∴DG=HE

同理可得:DH=FG,∠MGF=2∠MAC

∵DG∥BM,DH∥GM

四邊形DHMG是平行四邊形

∴∠DGM=∠DHM

∵∠MGF=2∠MAC,∠MHE=2∠MBC

∵∠MBC=∠MAC

∴∠MGF=∠MHE

∴∠DGM+∠MGF=∠DHM+∠MHE

∴∠DGF=∠DHE

DHE與FGD中

,

∴△DHE≌△FGD(SAS),

∴DE=DF

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(2)用“>”從大到小把a(bǔ),b,﹣b,c連接起來.

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【題目】如圖所示,一個(gè)四邊形紙片ABCD,∠B=∠D=90°,把紙片按如圖所示折疊,使點(diǎn)B落在AD邊上的B'點(diǎn),AE是折痕。

(1)試判斷B'E與DC的位置關(guān)系并說明理由。

(2)如果∠C=130°,求∠AEB的度數(shù)。

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【題目】已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)(﹣2,y1),(﹣1,y2),(1,0),且y1<0<y2 , 對(duì)于以下結(jié)論:
①abc>0;②a+3b+2c≤0;③對(duì)于自變量x的任意一個(gè)取值,都有 x2+x≥﹣ ;④在﹣2<x<﹣1中存在一個(gè)實(shí)數(shù)x0 , 使得x0=﹣
其中結(jié)論錯(cuò)誤的是 (只填寫序號(hào)).

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【題目】閱讀下列文字:

我們知道,對(duì)于一個(gè)圖形,通過兩種不同的方法計(jì)算它的面積,可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式,例如由圖1可以得到(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2.請(qǐng)解答下列問題:

(1)寫出圖2中所表示的數(shù)學(xué)等式_____;

(2)利用(1)中所得到的結(jié)論,解決下面的問題:已知a+b+c=11,ab+bc+ac=38,求a2+b2+c2的值;

(3)圖3中給出了若干個(gè)邊長為a和邊長為b的小正方形紙片及若干個(gè)邊長分別為a、b的長方形紙片,

請(qǐng)按要求利用所給的紙片拼出一個(gè)幾何圖形,并畫在圖3所給的方框中,要求所拼出的幾何圖形的面積為2a2+5ab+2b2,

再利用另一種計(jì)算面積的方法,可將多項(xiàng)式2a2+5ab+2b2分解因式.即2a2+5ab+2b2=______.

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(1)求拋物線的解析式,并寫出其頂點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)①當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)處時(shí),計(jì)算:PO= , PH= , 由此發(fā)現(xiàn),POPH(填“>”、“<”或“=”);
②當(dāng)P點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí),猜想PO與PH有什么數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想;
(3)如圖2,設(shè)點(diǎn)C(1,﹣2),問是否存在點(diǎn)P,使得以P,O,H為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似?若存在,求出P點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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