【題目】閱讀理解:課外興趣小組活動時,老師提出了如下問題:

如圖1,ABC中,若AB=5,AC=3,求BC邊上的中線AD的取值范圍.

小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流,得到了如下的解決方法:延長ADE,使得DE=AD,再連接BE(或將ACD繞點D逆時針旋轉180°得到EBD),把AB、AC2AD集中在ABE中,利用三角形的三邊關系可得2AE8,則1AD4

感悟:解題時,條件中若出現(xiàn)中點”“中線字樣,可以考慮構造以中點為對稱中心的中心對稱圖形,把分散的已知條件和所求證的結論集中到同一個三角形中.

1)問題解決:受到(1)的啟發(fā),請你證明下面命題:如圖2,在ABC中,DBC邊上的中點,DEDFDEAB于點E,DFAC于點F,連接EF

①求證:BE+CFEF;②若∠A=90°,探索線段BE、CF、EF之間的等量關系,并加以證明;

2)問題拓展:如圖3,在平行四邊形ABCD中,AD=2AB,FAD的中點,作CEAB,垂足E在線段AB上,聯(lián)結EF、CF,那么下列結論①∠DCF=BCDEF=CF;SBEC=2SCEF④∠DFE=3AEF.中一定成立是 (填序號).

圖1 圖2 圖3

【答案】(1)①證明見解析;②BE2+CF2=EF2;(2)①②④.

【解析】試題分析:1可按閱讀理解中的方法構造全等,把CFBE轉移到一個三角形中,利用三角形的三邊關系求解即可;②由∠A=90°,可得∠EBC+FCB=90°,由①中的全等得到∠C=CBG;即可得ABC+CBG =90°,EBG=90°,由此可得可得三邊之間存在勾股定理關系;2ABCD中,AD=2AB,FAD的中點,可得AF=FD=CD,即可得DFC=DCF;再由ADBC,根據(jù)平行線的性質可得DFC=FCB所以DCF=BCF,根據(jù)角平分線的定義可得DCF=BCD,正確;延長EF,交CD延長線于M,根據(jù)已知條件易證AEF≌△DMF,根據(jù)全等三角形的性質可得FE=MFAEF=M,又因CEAB,可得AEC=90°所以AEC=ECD=90°,FM=EF,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得FC=FM,②正確;③由EF=FM可得SEFC=SCFM,又因MCBE,即可得SBEC2SEFC,所以SBEC=2SCEF錯誤,即③錯誤設∠FEC=x,則∠FCE=x所以DCF=DFC=90°x,根據(jù)三角形外角的性質可得EFC=180°2x,所以EFD=90°x+180°2x=270°3x,再由AEF=90°x即可得DFE=3AEF,正確.

試題解析:

延長FDG,使得DG=DF,連接BG、EG.(或把CFD繞點D逆時針旋轉180°得到BGD),

∵BD=CD,∠BDG=∠CDF

∴△BDG≌△CDF,

∴CF=BG,

DEDF,DF=DG,

EF=EG

BEG中,BE+BGEG,即BE+CFEF

②若∠A=90°,則∠EBC+FCB=90°

由①知∠FCD=DBG,EF=EG,

∴∠EBC+DBG=90°,即∠EBG=90°,

∴在RtEBG中,BE2+BG2=EG2,

BE2+CF2=EF2

2①∵FAD的中點,

∴AF=FD,

∵在ABCD中,AD=2AB,

∴AF=FD=CD,

∴∠DFC=∠DCF,

∵AD∥BC,

∴∠DFC=∠FCB,

∴∠DCF=∠BCF,

∴∠DCF=BCD,故此選項正確;

②延長EF,交CD延長線于M,

∵四邊形ABCD是平行四邊形,

∴AB∥CD

∴∠A=∠MDF,

∵FAD中點,

∴AF=FD,

在△AEF和△DFM中, ,

∴△AEF≌△DMFASA),

∴FE=MF,∠AEF=∠M,

∵CE⊥AB

∴∠AEC=90°,

∴∠AEC=∠ECD=90°,

∵FM=EF,

∴FC=FM,故②正確;

③∵EF=FM,

∴SEFC=SCFM,

∵MCBE

∴SBEC2SEFC

SBEC=2SCEF錯誤;

④設∠FEC=x,則∠FCE=x,

∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x

∴∠EFC=180°﹣2x,

∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x,

∵∠AEF=90°﹣x,

∴∠DFE=3∠AEF,故此選項正確.

故正確答案為:①②④.

練習冊系列答案
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初二1班體育模擬測試成績分析表

平均分

方差

中位數(shù)

眾數(shù)

男生

2

8

7

女生

7.92

1.99

8

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2)問題拓展:如圖3,在平行四邊形ABCD中,AD=2AB,FAD的中點,作CEAB,垂足E在線段AB上,聯(lián)結EFCF,那么下列結論①∠DCF=BCDEF=CFSBEC=2SCEF;④∠DFE=3AEF.中一定成立是 (填序號).

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調(diào)查結果統(tǒng)計表

組別

 成績分組(單位:分)

 頻數(shù)

 頻率

 A

 80x85

 50

 0.1

 B

 85x90

 75

 C

 90x95

 150

 c

 D

 95x100

 a

 合計

 b

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