【題目】如圖,拋物線 與x軸相交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于C,頂點(diǎn)為D,拋物線的對(duì)稱軸DF與BC相交于點(diǎn)E,與x軸相交于點(diǎn)F.
(1)求線段DE的長(zhǎng);
(2)設(shè)過E的直線與拋物線相交于M(x1,y1),N(x2,y2),試判斷當(dāng)|x1﹣x2|的值最小時(shí),直線MN與x軸的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;
(3)設(shè)P為x軸上的一點(diǎn),∠DAO+∠DPO=∠α,當(dāng)tan∠α=4時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo).
【答案】(1)2;(2)直線MN∥x軸,見解析;(3)P(19,0)或(﹣17,0)
【解析】
(1)根據(jù)拋物線的解析式即可求得與坐標(biāo)軸的坐標(biāo)及頂點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而求得直線BC的解析式,把對(duì)稱軸代入直線BC的解析式即可求得.
(2)設(shè)直線MN的解析式為y=kx+b,依據(jù)E(1,2)的坐標(biāo)即可表示出直線MN的解析式y=(2-b)x+b,根據(jù)直線MN的解析式和拋物線的解析式即可求得x2-bx+b-3=0,所以x1+x2=b,x1x2=b-3;根據(jù)完全平方公式即可求得=,所以當(dāng)b=2時(shí),|x1-x2|最小值=,因?yàn)?/span>b=2時(shí),y=(2-b)x+b=2,所以直線MN∥x軸.
(3)由D(1,4),則tan∠DOF=4,得出∠DOF=∠α,然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求得∠DPO=∠ADO,進(jìn)而求得△ADP∽△AOD,得出AD2=AOAP,從而求得OP的長(zhǎng),進(jìn)而求得P點(diǎn)坐標(biāo).
由拋物線y=﹣x2+2x+3可知,C(0,3),
令y=0,則﹣x2+2x+3=0,解得:x=﹣1,x=3,
∴A(﹣1,0),B(3,0);
∴頂點(diǎn)x=1,y=4,即D(1,4);
∴DF=4
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,代入B(3,0),C(0,3)得;
,解得,
∴解析式為;y=﹣x+3,
當(dāng)x=1時(shí),y=﹣1+3=2,
∴E(1,2),
∴EF=2,
∴DE=DF﹣EF=4﹣2=2.
(2)設(shè)直線MN的解析式為y=kx+b,
∵E(1,2),
∴2=k+b,
∴k=2﹣b,
∴直線MN的解析式y=(2﹣b)x+b,
∵點(diǎn)M、N的坐標(biāo)是的解,
整理得:x2﹣bx+b﹣3=0,
∴x1+x2=b,x1x2=b﹣3;
∵=, ,
∴當(dāng)b=2時(shí),|x1﹣x2|最小值=,
∵b=2時(shí),y=(2﹣b)x+b=2
∴直線MN∥x軸.
(3)如圖2,∵D(1,4),
∴tan∠DOF=4,
又∵tan∠α=4,
∴∠DOF=∠α,
∵∠DOF=∠DAO+∠ADO=∠α,
∵∠DAO+∠DPO=∠α,
∴∠DPO=∠ADO,
∴△ADP∽△AOD,
∴AD2=AOAP,
∵AF=2,DF=4,
∴AD2=AF2+DF2=20,
∴OP=19,
同理,當(dāng)點(diǎn)P在原點(diǎn)左側(cè)時(shí),OP=17.
∴P1(19,0),P2(﹣17,0).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=x2+bx+c與直線y=x+3分別相交于A,B兩點(diǎn),且此拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為C,連接AC,BC.已知A(0,3),C(﹣3,0).
(1)求拋物線的解析式;
(2)在拋物線對(duì)稱軸l上找一點(diǎn)M,使|MB﹣MC|的值最大,并求出這個(gè)最大值;
(3)點(diǎn)P為y軸右側(cè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn),連接PA,過點(diǎn)P作PQ⊥PA交y軸于點(diǎn)Q,問:是否存在點(diǎn)P使得以A,P,Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似?若存在,請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在等腰直角三角形中,,點(diǎn)是的中點(diǎn),將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至的位置,使,其中點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑為弧,連接,則圖中陰影部分的面積為_______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在Rt△ABC中,∠ACB=90°,點(diǎn)D與點(diǎn)B在AC同側(cè),∠DAC>∠BAC,且DA=DC,過點(diǎn)B作BE∥DA交DC于點(diǎn)E,M為AB的中點(diǎn),連接MD,ME.
(1)如圖1,當(dāng)∠ADC=90°時(shí),線段MD與ME的數(shù)量關(guān)系是 ;
(2)如圖2,當(dāng)∠ADC=60°時(shí),試探究線段MD與ME的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(3)如圖3,當(dāng)∠ADC=α?xí)r,求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】盒中有x個(gè)黑球和y個(gè)白球,這些球除顏色外無(wú)其他差別.若從盒中隨機(jī)取一個(gè)球,它是黑球的 概率是;中再放進(jìn)1個(gè)黑球,這時(shí)取得黑球的概率變?yōu)?/span>
(1)填空:x=_____________, y=____________________;
(2)小王和小林利用x黑球和y個(gè)白球進(jìn)行摸球游戲。約定:從盒中隨機(jī)摸取一個(gè),接著從剩下的球中再隨機(jī)摸取一個(gè),若兩球顏色相同則小王勝,若顏色不同則小林勝.求兩個(gè)人獲勝的概率各是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在一個(gè)不透明的袋子中裝有僅顏色不同的20個(gè)小球,其中紅球6個(gè),黑球14個(gè)
(1)先從袋子中取出x(x>3)個(gè)紅球后,再?gòu)拇又须S機(jī)摸出1個(gè)球,將“摸出黑球”,記為事件A.請(qǐng)完成下列表格.
事件A | 必然事件 | 隨機(jī)事件 |
x的值 |
(2)先從袋子中取出m個(gè)紅球,再放入2m個(gè)一樣的黑球并搖勻,隨機(jī)摸出1個(gè)球是黑球的概率是,求m的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線y=﹣x2+2mx+3m2與x軸相交于點(diǎn)B、C(點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)),與y軸相交于點(diǎn)A,點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn),拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)E.
(1)如圖1,當(dāng)AO+BC=7時(shí),求拋物線的解析式;
(2)如圖2,點(diǎn)F是拋物線的對(duì)稱軸右側(cè)一點(diǎn),連接BF、CF、DF,過點(diǎn)F作FH∥x軸交DE于點(diǎn)H,當(dāng)∠BFC=∠DFB+∠BFH=90°時(shí),求點(diǎn)H的縱坐標(biāo);
(3)如圖3,在(1)的條件下,點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn),點(diǎn)P、點(diǎn)A關(guān)于直線DE對(duì)稱,點(diǎn)Q在線段AP上,過點(diǎn)P作PR⊥AP,連接BQ、QR,滿足QB平分∠AQR,tan∠QRP=,點(diǎn)K在拋物線的對(duì)稱軸上且在x軸下方,當(dāng)CK=BQ時(shí),求線段DK的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD的頂點(diǎn)A,B在x軸上,且關(guān)于y軸對(duì)稱,反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C,反比例函數(shù)y=(x<0)的圖象分別與AD,CD交于點(diǎn)E,F(xiàn),若S△BEF=7,k1+3k2=0,則k1等于_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一次函數(shù) y kx b k 0的圖象與反比例函數(shù) y m 0的圖象交于 A (-1,-1),B (n,2)兩點(diǎn).
(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)點(diǎn) P 在 x 軸上,過點(diǎn) P 做垂直于 x 軸的直線 l,交直線 AB 于點(diǎn) C,若AB=2AC,請(qǐng)直接寫出點(diǎn) C 的坐標(biāo).
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