Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y＝﹣x2+2mx+3m2與x軸相交于點(diǎn)B、C（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)A，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的對稱軸交x軸于點(diǎn)E．

（1）如圖1，當(dāng)AO+BC＝7時(shí)，求拋物線的解析式；

（2）如圖2，點(diǎn)F是拋物線的對稱軸右側(cè)一點(diǎn)，連接BF、CF、DF，過點(diǎn)F作FH∥x軸交DE于點(diǎn)H，當(dāng)∠BFC＝∠DFB+∠BFH＝90°時(shí)，求點(diǎn)H的縱坐標(biāo)；

（3）如圖3，在（1）的條件下，點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)P、點(diǎn)A關(guān)于直線DE對稱，點(diǎn)Q在線段AP上，過點(diǎn)P作PR⊥AP，連接BQ、QR，滿足QB平分∠AQR，tan∠QRP＝，點(diǎn)K在拋物線的對稱軸上且在x軸下方，當(dāng)CK＝BQ時(shí)，求線段DK的長．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）1；（3）7

【解析】

（1）根據(jù)拋物線與軸相交于點(diǎn)、（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸相交于點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，，可以求得的值，從而可以求得該拋物線的解析式；

（2）根據(jù)題意和三角形相似，作出合適的輔助線，可以求得點(diǎn)的縱坐標(biāo)；

（3）根據(jù)在（1）的條件下，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)、點(diǎn)關(guān)于直線對稱，點(diǎn)在線段上，過點(diǎn)作，連接、，滿足平分，，點(diǎn)在拋物線的對稱軸上且在軸下方，，利用勾股定理和三角形的全等可以求得線段的長．

解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+2mx+3m2＝﹣（x﹣m）2+4m2＝﹣（x﹣3m）（x+m），

∴當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3m2，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝3m或x＝﹣m，該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m，4m2），

∵拋物線y＝﹣x2+2mx+3m2與x軸相交于點(diǎn)B、C（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)A，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，

∴點(diǎn)A（0，3m2），點(diǎn)B（﹣m，0），點(diǎn)C（3m，0），點(diǎn)D（m，4m2），

∴AO＝3m2，BC＝4m，

∵AO+BC＝7，

∴3m2+4m＝7，

解得，m1＝1，m2＝﹣（舍去），

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3；

（2）連接EF，如圖2所示，

∵點(diǎn)B（﹣m，0），點(diǎn)C（3m，0），點(diǎn)D（m，4m2），點(diǎn)E是對稱軸與x軸的交點(diǎn)，

∴BE＝CE＝2m，BC＝4m，

∵∠BFC＝90°，

∴EF＝BC＝2m，

∵HF∥x軸，

∴∠HFB＝∠FBE，

∵EF＝BE，

∴∠FBE＝∠BFE，

∴∠HFB＝∠BFE，

∵∠DFB+∠BFH＝90°，

∴∠DFB+∠BFE＝90°，

∴∠DFE＝90°，

∵∠DFE＝∠FHE＝90°，∠DEF＝∠FEH，

∴△DFE∽△FHE，

，

，

解得，EH＝1，

∴點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為1；

（3）如圖3，過點(diǎn)B作BM⊥PA交PA的延長線于點(diǎn)M，作BG⊥QR于點(diǎn)G，延長PR交x軸于點(diǎn)N，連接BR，

則四邊形MBNP是矩形，

由（1）知點(diǎn)A（0，3），點(diǎn)D（1，4），點(diǎn)B（﹣1，0），點(diǎn)C（3，0），

∵點(diǎn)P與點(diǎn)A關(guān)于直線DE對稱，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3），

∴點(diǎn)N（2，0）

∴BM＝BN＝3，

∴四邊形MBNP是正方形，

∵QB平分∠AQR，

∴BM＝BG，

∴BG＝BN，

∵∠MQB＝∠GQB，∠QMB＝∠QGB＝90°，QB＝QB，

∴△MQB≌△GQB（AAS），

∴MQ＝GQ，

同理可證，△BGR≌△BNR，

∴GR＝NR，

∵tan∠QRP＝，

∴設(shè)PQ＝5k，則PR＝12k，QR＝13k，

∵M(jìn)P＝3，

∴MQ＝3﹣5k，

∵NP＝3，

∴RN＝3﹣12k，

∵QR＝QG+GR，MQ＝GQ，GR＝NR，

∴13k＝3﹣5k+3﹣12k，

解得，k＝，

∴PQ＝1，MQ＝2，

∵CE＝BE＝2，

∴CE＝MQ，

∵CK＝BQ，

∴Rt△BMQ≌Rt△KEC（HL），

∴BM＝EK＝3，

∴DK＝DE+EK＝4+3＝7．