【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線y=﹣x2+2mx+3m2與x軸相交于點(diǎn)B、C(點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)),與y軸相交于點(diǎn)A,點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn),拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)E.
(1)如圖1,當(dāng)AO+BC=7時(shí),求拋物線的解析式;
(2)如圖2,點(diǎn)F是拋物線的對(duì)稱軸右側(cè)一點(diǎn),連接BF、CF、DF,過(guò)點(diǎn)F作FH∥x軸交DE于點(diǎn)H,當(dāng)∠BFC=∠DFB+∠BFH=90°時(shí),求點(diǎn)H的縱坐標(biāo);
(3)如圖3,在(1)的條件下,點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn),點(diǎn)P、點(diǎn)A關(guān)于直線DE對(duì)稱,點(diǎn)Q在線段AP上,過(guò)點(diǎn)P作PR⊥AP,連接BQ、QR,滿足QB平分∠AQR,tan∠QRP=,點(diǎn)K在拋物線的對(duì)稱軸上且在x軸下方,當(dāng)CK=BQ時(shí),求線段DK的長(zhǎng).
【答案】(1)y=﹣x2+2x+3;(2)1;(3)7
【解析】
(1)根據(jù)拋物線與軸相交于點(diǎn)、(點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)),與軸相交于點(diǎn),點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn),,可以求得的值,從而可以求得該拋物線的解析式;
(2)根據(jù)題意和三角形相似,作出合適的輔助線,可以求得點(diǎn)的縱坐標(biāo);
(3)根據(jù)在(1)的條件下,點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn),點(diǎn)、點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱,點(diǎn)在線段上,過(guò)點(diǎn)作,連接、,滿足平分,,點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上且在軸下方,,利用勾股定理和三角形的全等可以求得線段的長(zhǎng).
解:(1)∵拋物線y=﹣x2+2mx+3m2=﹣(x﹣m)2+4m2=﹣(x﹣3m)(x+m),
∴當(dāng)x=0時(shí),y=3m2,當(dāng)y=0時(shí),x=3m或x=﹣m,該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(m,4m2),
∵拋物線y=﹣x2+2mx+3m2與x軸相交于點(diǎn)B、C(點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)),與y軸相交于點(diǎn)A,點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn),
∴點(diǎn)A(0,3m2),點(diǎn)B(﹣m,0),點(diǎn)C(3m,0),點(diǎn)D(m,4m2),
∴AO=3m2,BC=4m,
∵AO+BC=7,
∴3m2+4m=7,
解得,m1=1,m2=﹣(舍去),
∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3;
(2)連接EF,如圖2所示,
∵點(diǎn)B(﹣m,0),點(diǎn)C(3m,0),點(diǎn)D(m,4m2),點(diǎn)E是對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn),
∴BE=CE=2m,BC=4m,
∵∠BFC=90°,
∴EF=BC=2m,
∵HF∥x軸,
∴∠HFB=∠FBE,
∵EF=BE,
∴∠FBE=∠BFE,
∴∠HFB=∠BFE,
∵∠DFB+∠BFH=90°,
∴∠DFB+∠BFE=90°,
∴∠DFE=90°,
∵∠DFE=∠FHE=90°,∠DEF=∠FEH,
∴△DFE∽△FHE,
,
,
解得,EH=1,
∴點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為1;
(3)如圖3,過(guò)點(diǎn)B作BM⊥PA交PA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,作BG⊥QR于點(diǎn)G,延長(zhǎng)PR交x軸于點(diǎn)N,連接BR,
則四邊形MBNP是矩形,
由(1)知點(diǎn)A(0,3),點(diǎn)D(1,4),點(diǎn)B(﹣1,0),點(diǎn)C(3,0),
∵點(diǎn)P與點(diǎn)A關(guān)于直線DE對(duì)稱,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,3),
∴點(diǎn)N(2,0)
∴BM=BN=3,
∴四邊形MBNP是正方形,
∵QB平分∠AQR,
∴BM=BG,
∴BG=BN,
∵∠MQB=∠GQB,∠QMB=∠QGB=90°,QB=QB,
∴△MQB≌△GQB(AAS),
∴MQ=GQ,
同理可證,△BGR≌△BNR,
∴GR=NR,
∵tan∠QRP=,
∴設(shè)PQ=5k,則PR=12k,QR=13k,
∵M(jìn)P=3,
∴MQ=3﹣5k,
∵NP=3,
∴RN=3﹣12k,
∵QR=QG+GR,MQ=GQ,GR=NR,
∴13k=3﹣5k+3﹣12k,
解得,k=,
∴PQ=1,MQ=2,
∵CE=BE=2,
∴CE=MQ,
∵CK=BQ,
∴Rt△BMQ≌Rt△KEC(HL),
∴BM=EK=3,
∴DK=DE+EK=4+3=7.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】學(xué)校植物園沿路護(hù)欄的紋飾部分設(shè)計(jì)成若干個(gè)全等菱形圖案,每增加一個(gè)菱形圖案,紋飾長(zhǎng)度就增加dcm,如圖所示,已知每個(gè)菱形圖案的邊長(zhǎng)為10cm,其中一個(gè)內(nèi)角為60°.
(1)求一個(gè)菱形圖案水平方向的對(duì)角線長(zhǎng);
(2)若d=26,紋飾的長(zhǎng)度L能否是6010cm?若能,求出菱形個(gè)數(shù);若不能,說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,以AB為直徑作半圓,點(diǎn)P是CD中點(diǎn),BP與半圓交于點(diǎn)Q,連結(jié)DQ,給出如下結(jié)論:①;②;③;④,其中正確結(jié)論是______填寫序號(hào)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,拋物線 與x軸相交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于C,頂點(diǎn)為D,拋物線的對(duì)稱軸DF與BC相交于點(diǎn)E,與x軸相交于點(diǎn)F.
(1)求線段DE的長(zhǎng);
(2)設(shè)過(guò)E的直線與拋物線相交于M(x1,y1),N(x2,y2),試判斷當(dāng)|x1﹣x2|的值最小時(shí),直線MN與x軸的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;
(3)設(shè)P為x軸上的一點(diǎn),∠DAO+∠DPO=∠α,當(dāng)tan∠α=4時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校初三進(jìn)行了第三次模擬考試,該校領(lǐng)導(dǎo)為了了解學(xué)生的數(shù)學(xué)考試情況,抽樣調(diào)查部分學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī),并將抽樣的數(shù)據(jù)進(jìn)行了如下整理:
①如下分?jǐn)?shù)段整理樣本;
等級(jí)等級(jí) | 分?jǐn)?shù)段 | 各組總分 | 人數(shù) |
A | 110<X<120 | P | 4 |
B | 100<X<110 | 843 | n |
C | 90<X≤100 | 574 | m |
D | 80<X<90 | 171 | 2 |
②根據(jù)左表繪制扇形統(tǒng)計(jì)圖.
(1)填空m= ,n= ,數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)所在的等級(jí) ;
(2)如果該校有1200名學(xué)生參加了本次模擬測(cè),估計(jì)D等級(jí)的人數(shù);
(3)已知抽樣調(diào)查學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)平均分為102分,求A等級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分?jǐn)?shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】兩會(huì)期間,記者隨機(jī)抽取參會(huì)的部分代表,對(duì)他們某天發(fā)言的次數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),其結(jié)果如表,并繪制了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)結(jié)合圖中相關(guān)數(shù)據(jù)回答下列問(wèn)題:
發(fā)言次數(shù)n | |
A | 0≤n<3 |
B | 3≤n<6 |
C | 6≤n<9 |
D | 9≤n<12 |
E | 12≤n<15 |
F | 15≤n<18 |
(1)求得樣本容量為 ,并補(bǔ)全直方圖;
(2)如果會(huì)議期間組織1700名代表參會(huì),請(qǐng)估計(jì)在這一天里發(fā)言次數(shù)不少于12次的人數(shù);
(3)已知A組發(fā)表提議的代表中恰有1為女士,E組發(fā)表提議的代表中只有2位男士,現(xiàn)從A組與E組中分別抽一位代表寫報(bào)告,請(qǐng)用列表法或畫樹(shù)狀圖的方法,求所抽的兩位代表恰好都是男士的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了解某區(qū)初二年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科期末質(zhì)量監(jiān)控情況,進(jìn)行了抽樣調(diào)查,過(guò)程如下,請(qǐng)將有關(guān)問(wèn)題補(bǔ)充完整.收集數(shù)據(jù):隨機(jī)抽取甲乙兩所學(xué)校的名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行
甲 91 89 77 86 71 31 97 93 72 91 81 92 85 85 95 88 88 90 44 91
乙 84 93 66 69 76 87 77 82 85 88 90 88 67 88 91 96 68 97 59 88
整理、描述數(shù)據(jù):按如下數(shù)據(jù)段整理、描述這兩組數(shù)據(jù),分析數(shù)據(jù):
分段 學(xué)校 | |||||||
甲 | 1 | 1 | 0 | 0 | 3 | 7 | 8 |
乙 |
兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差如下表:
統(tǒng)計(jì)量 學(xué)校 | 平均數(shù) | 中位數(shù) | 眾數(shù) | 方差 |
甲 | 81.85 | 91 | 268.43 | |
乙 | 81.95 | 86 | 88 | 115.25 |
(1)經(jīng)統(tǒng)計(jì),表格中的值是__________.
(2)得出結(jié)論
①若甲學(xué)校有600名初二學(xué)生,估計(jì)這次考試成績(jī)80分以上人數(shù)為__________.
②可以推斷出__________學(xué)校學(xué)生的數(shù)學(xué)水平較高,理由為:__________.(至少?gòu)膬蓚(gè)不同的角度說(shuō)明推斷的合理性)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】新型冠狀病毒肺炎疫情發(fā)生后,全社會(huì)積極參與疫情防控工作,某市為了盡快完成100萬(wàn)只口罩的生產(chǎn)任務(wù),安排甲、乙兩個(gè)大型工廠完成.已知甲廠每天能生產(chǎn)口罩的數(shù)量是乙廠每天能生產(chǎn)口罩的數(shù)量的1.5倍,并且在獨(dú)立完成60萬(wàn)只口罩的生產(chǎn)任務(wù)時(shí),甲廠比乙廠少用5天.問(wèn)至少應(yīng)安排兩個(gè)工廠工作多少天才能完成任務(wù)?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,點(diǎn)D,E分別為AB,AC的中點(diǎn),連接DE,將△ADE繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180°,得到△CFE,連接AF,CD.
(1)四邊形ADCF是什么特殊的四邊形?說(shuō)明理由;
(2)若BC=8,AC=6,求四邊形ABCF的周長(zhǎng).
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