Question

7．如圖1，在四邊形ABCD的邊AB上任取一點(diǎn)E（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、點(diǎn)B重合），分別連接ED，EC，可以把四邊形ABCD分成三個(gè)三角形，如果其中有兩個(gè)三角形相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn)；如果這三個(gè)三角形都相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的強(qiáng)相似點(diǎn)．解決問(wèn)題：

（1）如圖1，∠A=∠B=∠DEC=55°，試判斷點(diǎn)E是否是四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn)，并說(shuō)明理由；
（2）如圖2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格（網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1）的格點(diǎn)（即每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)）上，試在圖2中畫(huà)出矩形ABCD的邊AB上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)E．

Answer 1

分析 （1）要證明點(diǎn)E是四邊形ABCD的AB邊上的相似點(diǎn)，只要證明有一組三角形相似就行，很容易證明△ADE∽△BEC，所以問(wèn)題得解．
（2）根據(jù)兩個(gè)直角三角形相似得到強(qiáng)相似點(diǎn)的兩種情況即可（以CD為直徑畫(huà)弧，取該弧與AB的一個(gè)交點(diǎn)即為所求）．

解答 解：（1）點(diǎn)E是四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn)．
理由：∵∠A=55°，
∴∠ADE+∠DEA=125°．
∵∠DEC=55°，
∴∠BEC+∠DEA=125°．
∴∠ADE=∠BEC．
∵∠A=∠B，
∴△ADE∽△BEC．
∴點(diǎn)E是四邊形ABCD的AB邊上的相似點(diǎn)．

（2）作圖如下：

點(diǎn)評(píng) 本題是相似三角形綜合題，主要考查了相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，讀懂題目信息，理解全相似點(diǎn)的定義，判斷出∠CED=90°，從而確定作以CD為直徑的圓是解題的關(guān)鍵．