Question

13．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D是AB上的一點(diǎn)，連接CD，CE∥AB，BE∥CD，且CE=AD．
（1）求證：四邊形BDCE是菱形；
（2）過點(diǎn)E作EF⊥BD，垂足為點(diǎn)F，若點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，EB=6，求BC的長．

Answer 1

分析 （1）先證明四邊形BDCE是平行四邊形，得出CE=BD，證出BD=CD，由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出CD=$\frac{1}{2}$AB=BD，即可得出四邊形BDCE是菱形；
（2）連接DE，由菱形的性質(zhì)得出BC⊥DE，BD=BE，OB=OC，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出BE=DE，證出BE=DE=BD，由等邊三角形和菱形的性質(zhì)得出∠EBC=$\frac{1}{2}$∠EBD=30°，求出OE=$\frac{1}{2}$EB=3，由勾股定理求出OB，即可得出結(jié)果．

解答 （1）證明：∵CE∥AB，BE∥CD，
∴四邊形BDCE是平行四邊形，
∴CE=BD，
∵CE=AD，
∴BD=CD，
又∵∠ACB=90°，
∴CD=$\frac{1}{2}$AB=BD，
∴四邊形BDCE是菱形；
（2）解：連接DE，如圖所示：
由（1）得：四邊形BDCE是菱形，
∴BC⊥DE，BD=BE，OB=OC，
∵EF⊥BD，點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，
∴BE=DE，
∴BE=DE=BD，
∴∠DBE=60°，∠EBC=$\frac{1}{2}$∠EBD=30°，
∴OE=$\frac{1}{2}$EB=3，
∴OB=$\sqrt{E{B}^{2}-O{E}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∴BC=2OB=6$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、勾股定理等知識；熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．