Question

【題目】如圖1，⊙O是△ABC的外接圓，AB是直徑，D是⊙O外一點且滿足∠DCA＝∠B，連接AD．

（1）求證：CD是⊙O的切線；

（2）若AD⊥CD，CD＝2，AD＝4，求直徑AB的長；

（3）如圖2，當∠DAB＝45°時，AD與⊙O交于E點，試寫出AC、EC、BC之間的數(shù)量關系并證明．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AB＝5；（3）,見解析 .

【解析】

（1）連接OC，由OB＝OC知∠OCB＝∠B，結合∠DCA＝∠B得∠DCA＝∠OCB，再由AB是直徑知∠ACB＝90°，據此可得∠DCA+∠ACO＝∠OCB+∠ACO＝90°，從而得證；

（2）先利用勾股定理求得 ，再證△ADC∽△ACB得 ，據此求解可得；

（3）連接BE，在AC上截取AF＝BC，連接EF．由AB是直徑、∠DAB＝45°知∠AEB＝90°，據此得△AEB是等腰直角三角形，AE＝BE，再證△ECB≌△EFA得EF＝EC，據此可知△FEC是等腰直角三角形，從而得出 ，從而得證．

解：（1）如圖1，連接OC．

∵OB＝OC，

∴∠OCB＝∠B，

∵∠DCA＝∠B，

∴∠DCA＝∠OCB，

∵AB是直徑，

∴∠ACB＝90°，

∴∠DCA+∠ACO＝∠OCB+∠ACO＝90°，即∠DCO＝90°，

∴CD是⊙O的切線．

（2）∵AD⊥CD，CD＝2，AD＝4．

∴ ，

由（1）可知∠DCA＝∠B，∠D＝∠ACB＝90°，

∴△ADC∽△ACB，

∴，即 ，

∴AB＝5，

（3） ，

如圖2，連接BE，在AC上截取AF＝BC，連接EF．

∵AB是直徑，∠DAB＝45°，

∴∠AEB＝90°，

∴△AEB是等腰直角三角形，

∴AE＝BE，

又∵∠EAC＝∠EBC，

∴△ECB≌△EFA（SAS），

∴EF＝EC，

∵∠ACE＝∠ABE＝45°，

∴△FEC是等腰直角三角形，

∴，

∴ ．