Question

10．已知反比例函數(shù)y=$\frac{k-8}{x}$（k≠8）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-1，6）．
（1）求k的值；
（2）如圖，過點(diǎn)A作直線AC與函數(shù)y=$\frac{k-8}{x}$的圖象交于點(diǎn)B，與x軸交于點(diǎn)C，且AB=2BC，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，連接OA，過y軸的正半軸上的一點(diǎn)D作直線DE∥x軸，分別交線段AC、OA于點(diǎn)E、F，設(shè)OD=m，EF=n，求n與m之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出k的值；
（2）根據(jù)AB=2BC結(jié)合點(diǎn)C、A的縱坐標(biāo)即可得出點(diǎn)B的縱坐標(biāo)，利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線AB的解析式，再令直線AB解析式中y=0，求出x值，即可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）利用待定系數(shù)法求出直線OA的坐標(biāo)，由OD=m，DE∥x軸，即可找出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出n關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式．

解答 解：（1）將點(diǎn)A（-1，6）代入y=$\frac{k-8}{x}$中，
得：6=8-k，解得：k=2．
（2）∵AB=2BC，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為6，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為0，
∴點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為2，
∵點(diǎn)B為反比例函數(shù)y=-$\frac{6}{x}$上的圖象，
∴B（-3，2）．
設(shè)直線AB的解析式為y=ax+b，
將A（-1，6）、B（-3，2）代入y=ax+b中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{-a+b=6}\\{-3a+b=2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=8}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=2x+8．
令y=2x+8中y=0，則x=-4，
∴C（-4，0）．
（3）設(shè)直線OC的解析式為y=cx，
將點(diǎn)A（-1，6）代入y=cx中，得：c=-6，
∴直線OC的解析式為y=-6x．
∵OD=m，DE∥x軸，
∴E（$\frac{m-8}{2}$，m），F(xiàn)（-$\frac{m}{6}$，m），
∴n=EF=-$\frac{m}{6}$-$\frac{m-8}{2}$=-$\frac{2}{3}$m+4（0＜m＜6）．

點(diǎn)評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是：（1）利用待定系數(shù)法求出k值；（2）求出直線AB的解析式；（3）找出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是關(guān)鍵．