Question

2．如圖1，正方形ABCD的邊長為8，⊙O經(jīng)過點C和點D，且與AB相切于點E．
（1）求⊙O的半徑；
（2）如圖2，平移⊙O，使點O落在BD上，⊙O經(jīng)過點D，BC與⊙O交于M，N，求MN²的值．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，連接EO，延長EO交CD于F，連接DO，設(shè)半徑為x．構(gòu)建方程即可解決問題．
（2）如圖2中，作OP⊥BC于P，連接ON，則OD=ON=5，在Rt△OPN中，求出PN²即可解決問題．

解答 解：（1）連接EO，延長EO交CD于F，連接DO，設(shè)半徑為x．

∵AB切○O于E，
∴EF⊥AB，
∵AB∥CD，
∴EF⊥CD，
∴∠OFD=90°，
在Rt△DOF中，∵∠OFD=90°，OF²+DF²=OD²，
∴x²=（8-x）²+4²，
∴x=5，
∴⊙O的半徑為5．

（2）如圖2中，作OP⊥BC于P，連接ON，則OD=ON=5，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴BD=8$\sqrt{2}$，OB=BD-OD=8$\sqrt{2}$-5，OP=$\frac{8\sqrt{2}-5}{\sqrt{2}}$=8-$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
∴PN²=ON²-OP²=5²-（8-$\frac{5\sqrt{2}}{2}$）²=40$\sqrt{2}$-51.5，
∵MN=2PN，
∴MN²=4PN²=4（40$\sqrt{2}$-51.5）=160$\sqrt{2}$-206．

點評 本題考查切線的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用這些知識解決問題，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考�？碱}型．