Question

11．如圖，點(diǎn)p（-1，0），以O(shè)₁，O₂，O₃，…為圓心在x軸正半軸上連續(xù)作圓，半徑分別為1，2，3，…，過點(diǎn)P作各圓的切線，切點(diǎn)分別為A₁、A₂、A₃，…，則sin∠A_nPO_n=$\frac{n}{{n}^{2}+1}$．

Answer 1

分析 利用切線的性質(zhì)結(jié)合PO_n的變化得出其長(zhǎng)度，再根據(jù)三角函數(shù)的定義即可解決問題．

解答 解：如圖，連接O₃A₃，
∵PA₃是⊙O₃的切線，
∴PA₃⊥O₃A₃，
∴∠PA₃O₃=90°，
在RT△PA₃O₃中，∵∠PA₃O₃=90°，PO₂=2²+1=5，A₃O₃=3，PO₃=3²+1=10，
故A_nO_n=n，PO_n=n²+1，
∴sin∠A_nPO_n=$\frac{{{A}_{n}O}_{n}}{P{O}_{n}}$=$\frac{n}{{n}^{2}+1}$．
故答案為：$\frac{n}{{n}^{2}+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)、三角函數(shù)的定義，熟練應(yīng)用切線的性質(zhì)以及三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵，屬于中考�？碱}型．