【題目】如圖,ABC中,∠ACB90°ACCB2,以BC為邊向外作正方形BCDE,動點MA點出發(fā),以每秒1個單位的速度沿著ACD的路線向D點勻速運動(M不與A、D重合);過點M作直線lAD,l與路線ABD相交于N,設運動時間為t秒:

1)填空:當點MAC上時,BN   (用含t的代數(shù)式表示);

2)當點MCD上時(含點C),是否存在點M,使DEN為等腰三角形?若存在,直接寫出t的值;若不存在,請說明理由;

3)過點NNFED,垂足為F,矩形MDFNABD重疊部分的面積為S,求S的最大值.

【答案】1BN2t;(2)當t4t3t2時,△DNE是等腰三角形;(3)當t時,S取得最大值

【解析】

1)由等腰直角三角形的性質知AB2MNAMt,ANAMt,據(jù)此可得;

2)先得出MNDM4tBPPNt2,PE4t,由勾股定理得出NE,再分DNDE,DNNE,DENE三種情況分別求解可得;

3)分0≤t22≤t≤4兩種情況,其中0≤t2重合部分為直角梯形,2≤t≤4時重合部分為等腰直角三角形,根據(jù)面積公式得出面積的函數(shù)解析式,再利用二次函數(shù)的性質求解可得.

1)如圖1

∵∠ACB90°,ACBC2,

∴∠A=∠ABC45°AB2,

AMt,∠AMN90°,

MNAMtANAMt,

BNABAN

故答案為:

2)如圖2,

AMtACBCCD2,∠BDC=∠DBE45°,

DMMNADAM4t

DNDM4t),

PMBC2,

PN2﹣(4t)=t2,

BPt2,

PEBEBP2﹣(t2)=4t,

NE,

DE2,

∴①若DNDE,則4t)=2,解得t4;

②若DNNE,則4t)=,解得t3;

③若DENE,則2,解得t2t4(點N與點E重合,舍去);

綜上,當t4t3t2時,DNE是等腰三角形.

3)①當0≤t2時,如圖3,

由題意知AMMNt

CMNQACAM2t,

DMCM+CD4t,

∵∠ABC=∠CBD45°,∠NQB=∠GQB90°

NQBQQG2t,

NG42t

t時,S取得最大值

②當2≤t≤4時,如圖4,

AMtADAC+CD4,

DMADAM4t,

∵∠DMN90°,∠CDB45°,

MNDM4t,

S4t2t42,

2≤t≤4,

∴當t2時,S取得最大值2;

綜上,當t時,S取得最大值

練習冊系列答案
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1t= min.

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則甲登山的的上升速度是 m/min;

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②直接寫出∠EBF的度數(shù).

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3)把(1)中矩形ABCD進行特殊化探究,如圖3,矩形ABCD滿足ABAD時,點E是對角線AC上一點,連接DE,作EFDE,垂足為點E,交AB于點F,連接DF,交AC于點G.請直接寫出線段AG,GE,EC三者之間滿足的數(shù)量關系.

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男生身高(單位:cm):163 161 160 163 161 162 163 164 163 163

女生身高(單位:cm):164 161 160 161 161 162 160 162 163 162

整理數(shù)據(jù):

160

161

162

163

164

男生(人)

1

2

1

a

1

女生(人)

2

b

3

1

1

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