【題目】如圖,在中,,,.動點、分別從點、點同時出發(fā),相向而行,速度都為.以為一邊向上作正方形,過點作,交于點.設(shè)運動時間為,單位:,正方形和梯形重合部分的面積為.
當(dāng)時,點與點重合.
當(dāng)時,點在上.
當(dāng)點在,兩點之間(不包括,兩點)時,求與之間的函數(shù)表達式.
【答案】(1)1;(2);(3)當(dāng)點在,兩點之間(不包括,兩點)時,與之間的函數(shù)關(guān)系式為:.
【解析】
(1)當(dāng)點P與點Q重合時,此時AP=BQ=t,且AP+BQ=AB=2,由此列一元一次方程求出t的值;
(2)當(dāng)點D在QF上時,如圖1所示,此時AP=BQ=t.由相似三角形比例線段關(guān)系可得PQ=t,從而由關(guān)系式AP+PQ+BQ=AB=2,列一元一次方程求出t的值;
(3)當(dāng)點P在Q,B兩點之間(不包括Q,B兩點)時,運動過程可以劃分為兩個階段:
①當(dāng)1<t≤時,如答圖3所示,此時重合部分為梯形PDGQ.先計算梯形各邊長,然后利用梯形面積公式求出S;
②當(dāng)<t<2時,如答圖4所示,此時重合部分為一個多邊形.面積S由關(guān)系式“S=S正方形APDE﹣S△AQF﹣S△DMN”求出.
(1)當(dāng)點P與點Q重合時,AP=BQ=t,且AP+BQ=AB=2,∴t+t=2,解得:t=1s.
故答案:1.
(2)當(dāng)點D在QF上時,如圖1所示,此時AP=BQ=t.
∵QF∥BC,APDE為正方形,∴△PQD∽△ABC,∴DP:PQ=AC:AB=2,則PQ=DP=AP=t.
由AP+PQ+BQ=AB=2,得:t+t+t=2,解得:t=.
故答案:.
(3)當(dāng)P、Q重合時,由(1)知,此時t=1;
當(dāng)D點在BC上時,如答圖2所示,此時AP=BQ=t,BP=t,求得t=s,進一步分析可知此時點E與點F重合;
當(dāng)點P到達B點時,此時t=2.
因此當(dāng)P點在Q,B兩點之間(不包括Q,B兩點)時,其運動過程可分析如下:
①當(dāng)1<t≤時,如答圖3所示,此時重合部分為梯形PDGQ.
此時AP=BQ=t,∴AQ=2﹣t,PQ=AP﹣AQ=2t﹣2;
易知△ABC∽△AQF,可得AF=2AQ,EF=2EG,∴EF=AF﹣AE=2(2﹣t)﹣t=4﹣3t,EG=EF=2﹣t,∴DG=DE﹣EG=t﹣(2﹣t)=t﹣2.
S=S梯形PDGQ=(PQ+DG)PD=[(2t﹣2)+(t﹣2)]t=t2﹣2t;
②當(dāng)<t<2時,如答圖4所示,此時重合部分為一個多邊形.
此時AP=BQ=t,∴AQ=PB=2﹣t,易知△ABC∽△AQF∽△PBM∽△DNM,可得AF=2AQ,PM=2
又∵DM=DP﹣PM=t﹣(4﹣2t)=3t﹣4,∴DN=(3t﹣4)=t﹣2,DM=3t﹣4.
S=S正方形APDE﹣S△AQF﹣S△DMN=AP2﹣AQAF﹣DNDM
=t2﹣(2﹣t)(4﹣2t)﹣×(3t﹣4)×(3t﹣4)
=﹣t2+10t﹣8.
綜上所述:當(dāng)點P在Q,B兩點之間(不包括Q,B兩點)時,S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為:S=.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某網(wǎng)絡(luò)約車公司近期推出了“520專享”服務(wù)計劃,即要求公司員工做到“5星級服務(wù)、2分鐘響應(yīng)、0客戶投訴”,為進一步提升服務(wù)品質(zhì),公司監(jiān)管部門決定了解“單次營運里程”的分布情況.老王收集了本公司的5 000個“單次營運里程”數(shù)據(jù),這些里程數(shù)據(jù)均不超過25(公里),他從中隨機抽取了200個數(shù)據(jù)作為一個樣本,整理、統(tǒng)計結(jié)果如下表,并繪制了不完整的頻數(shù)分布直方圖.
根據(jù)統(tǒng)計表、圖提供的信息,解答下面的問題:
(1)表中a=________;樣本中“單次營運里程”不超過15公里的頻率為________;(2)請把頻數(shù)分布直方圖補充完整;
(3)請估計該公司這5 000個“單次營運里程”超過20公里的次數(shù);
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,△ABC中,∠A=68°,以AB為直徑的⊙O與AC,BC的交點分別為D,E
(Ⅰ)如圖①,求∠CED的大小;
(Ⅱ)如圖②,當(dāng)DE=BE時,求∠C的大。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校傳統(tǒng)文化社團某天進行納新活動,組織初一新生選報興趣學(xué)社,由于當(dāng)天報名人數(shù)較多,從現(xiàn)場隨機抽查部分學(xué)生的報名意向進行統(tǒng)計,并繪制出不完全的頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖,如下所示:
傳統(tǒng)文化 學(xué)社 | 報名頻數(shù) (人數(shù)) | 報名 頻率 | 錄取率 |
燈謎 | 12 | ||
書法 | 27 | 0.45 | 0.4 |
剪紙 | 0.3 | 0.35 | |
南音 |
請根據(jù)上述圖表,完成下列各題:
(1)填空: , , ,現(xiàn)場共抽查了 名學(xué)生;
(2)請把條線統(tǒng)計圖補充完整;
(3)現(xiàn)有1200個學(xué)生報名參加該校傳統(tǒng)文化社團,則可以估計被剪紙學(xué)社錄取的學(xué)生數(shù)比南音學(xué)社錄取的學(xué)生數(shù)多了多少人?若把所有被錄取人數(shù)按表中學(xué)社制作成扇形統(tǒng)計圖,則被燈謎學(xué)社錄取的學(xué)生數(shù)的扇形圓心角為多少度?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在Rt△ABC中,a,b分別是∠A,∠B的對邊,c為斜邊,如果已知兩個元素a,∠B,就可以求出其余三個未知元素b,c,∠A.
(1)求解的方法有多種,請你按照下列步驟,完成一種求解過程.
第一步:已知:a,∠B,用關(guān)系式:_______________,求出:________________;
第二步:已知:_____,用關(guān)系式:_______________,求出:_________________;
第三步:已知:_____,用關(guān)系式:_______________,求出:_________________.
(2)請你分別給出a,∠B的一個具體數(shù)據(jù),然后按照(1)中的思路,求出b,c,∠A的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形的邊長為8,為上一點, ,為邊上的一個動點,分別以為邊在正方形內(nèi)部作等邊三角形和等邊三角形.
(1)證明:;
(2)直線與交于點,點在運動過程中.
①的度數(shù)是否發(fā)生改變?若不變,求出這個角的度數(shù);若改變,說明理由;
②連結(jié),求的最小值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1和圖2,是直線上一動點,兩點在直線的同側(cè),且點所在直線與不平行.
(1)當(dāng)點運動到位置時,距離點最近,在圖1中的直線上畫出點的位置;
(2)當(dāng)點運動到位置時,與點的距離和與點距兩相等,請在圖2中作出位置;
(3)在直線上是否存在這樣一點,使得到點的距離與到點的距離之和最。咳舸嬖谡堅趫D3中作出這點,若不存在清說明理由.
(要求:不寫作法,請保留作圖痕跡)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,以AB為直徑的⊙O交BC于點D,交AC于點E,連結(jié)DE,過點B作BP平行于DE,交⊙O于點P,連結(jié)EP、CP、OP.
(1)BD=DC嗎?說明理由;
(2)求∠BOP的度數(shù);
(3)求證:CP是⊙O的切線.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校甲、乙兩名同學(xué)去愛國主義教育基地參觀,該基地與學(xué)校相距2400米.甲從學(xué)校步行去基地,出發(fā)5分鐘后乙再出發(fā),乙從學(xué)校騎自行車到基地. 乙騎行到一半時,發(fā)現(xiàn)有東西忘帶,立即返回,拿好東西之后再從學(xué)校出發(fā).在騎行過程中,乙的速度保持不變,最后甲、乙兩人同時到達基地. 已知,乙騎行的總時間是甲步行時間的.設(shè)甲步行的時間為(分),圖中線段OA表示甲離開學(xué)校的路程(米)與(分)的函數(shù)關(guān)系的圖像.圖中折線B—C—D和線段EA表示乙離開學(xué)校的路程(米)與(分)的函數(shù)關(guān)系的圖像.根據(jù)圖中所給的信息,解答下列問題:
(1)甲步行的速度和乙騎行的速度;
(2)甲出發(fā)多少時間后,甲、乙兩人第二次相遇?
(3)若(米)表示甲、乙兩人之間的距離,當(dāng)時,求(米)關(guān)于(分)的函數(shù)關(guān)系式.
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