Question

已知：如圖，直線l：y=

1

3

x+b經過點M（0，

1

4

），一組拋物線的頂點B₁（1，y₁），B₂（2，y₂），B₃（3，y₃），L，B_n（n，y_n）（n為正整數）依次是直線l上的點，這組拋物線與x軸正半軸的交點依次是：A₁（x₁，0），A₂（x₂，0），A₃（x₃，0），L，A_n+1（x_n+1，0）（n為正整數），設x₁=d（0＜d＜1）．
（1）求b的值；
（2）若d=

1

2

，求經過點A₁、B₁、A₂的拋物線的解析式；
（3）定義：若拋物線的頂點與x軸的兩個交點構成的三角形是直角三角形，則這種拋物線就稱為：“美麗拋物線”．
探究：當d（0＜d＜1）的大小變化時，這組拋物線中是否存在美麗拋物線？若存在，請你求出相應的d的值．
參考公式：拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點坐標為 （-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），對稱軸x=-

b

2a

．

Answer 1

分析：（1）由M（0，

1

4

）在y=

1

3

x+b上，代入即可求得B的值；
（2）由（1）即可求得：y=

1

3

x+

1

4

，又由B₁（1，y₁）在l上，即可求得B₁（1，

7

12

），設拋物線表達式為：y=a（x-1）²+

7

12

（a≠0），由d=

1

2

，求得A₁（

1

2

，0），即可求得經過點A₁、B₁、A₂的拋物線的解析式；
（3）由拋物線的對稱性可知，所構成的直角三角形必是以拋物線頂點為直角頂點的等腰直角三角形，由此等腰直角三角形斜邊上的高等于斜邊的一半．可得等腰直角三角形斜邊的長小于2，即可得等腰直角三角形斜邊上的高必小于1，即拋物線的頂點的縱坐標必小于1，然后分別以x=1，x=2，x=3去分析，即可求得答案．

解答：解：（1）∵M（0，

1

4

）在y=

1

3

x+b上，
∴

1

4

=

1

3

×0+b
∴b=

1

4

．（3分）

（2）由（1）得：y=

1

3

x+

1

4

，（4分）
∵B₁（1，y₁）在l上，
∴當x=1時，y₁=

1

3

×1+

1

4

=

7

12

，
∴B₁（1，

7

12

）．（5分）
∴設拋物線表達式為：y=a（x-1）²+

7

12

（a≠0），（6分）
又∵d=

1

2

，
∴A₁（

1

2

，0），
∴a=-

7

3

．
∴經過點A₁、B₁、A₂的拋物線的解析式為：y=-

7

3

（x-1）²+

7

12

．（8分）

（3）存在美麗拋物線．（9分）
由拋物線的對稱性可知，所構成的直角三角形必是以拋物線頂點為直角頂點的等腰直角三角形，
∴此等腰直角三角形斜邊上的高等于斜邊的一半．
又∵0＜d＜1，
∴等腰直角三角形斜邊的長小于2．
∴等腰直角三角形斜邊上的高必小于1，即拋物線的頂點的縱坐標必小于1．（10分）
∵當x=1時，y₁=

1

3

×1+

1

4

=

7

12

＜1，
當x=2時，y₂=

1

3

×2+

1

4

=

11

12

＜1，
當x=3時，y₃=

1

3

×3+

1

4

=1

1

4

＞1，
∴美麗拋物線的頂點只有B₁、B₂．（11分）
①若B₁為頂點，由B₁（1，

7

12

），則d=1-

7

12

=

5

12

；（12分）
②若B₂為頂點，由B₂（2，

11

12

），則d=1-[（2-

11

12

）-1]=

11

12

，
綜上所述，d的值為

5

12

或

11

12

時，存在美麗拋物線．（13分）

點評：此題考查了點與函數的關系，待定系數法求函數的解析式，等腰直角三角形的性質等知識．此題綜合性很強，難度較大，解題的關鍵是方程思想與數形結合思想的應用．