Question

如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，O為△ABC的外心，I為△ABC的內(nèi)心，求OI的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心,三角形的外接圓與外心

專題：

分析：作OD⊥AC于點(diǎn)D，IE⊥AC于點(diǎn)E，IF⊥BC于點(diǎn)F，交OD于點(diǎn)G．則四邊形IECF是正方形，四邊形IEDG是矩形．OD是△ABC的中位線，求得內(nèi)切圓的半徑，然后在直角△OGI中利用勾股定理即可求解．

解答：解：作OD⊥AC于點(diǎn)D，IE⊥AC于點(diǎn)E，IF⊥BC于點(diǎn)F，交OD于點(diǎn)G．
則四邊形IECF是正方形，四邊形IEDG是矩形．
則IE=CE=CF=IF=

3×4

3+4+5

=1，
∵O是外心，
∴OA=OB，
∴OD是△ABC的中位線，
∴OD=

1

2

BC=

1

2

×4=2，CD=

1

2

AC=

3

2

，
∴OG=2-1=1，GI=

3

2

-1=

1

2

．
在直角△OGI中，OI=

OG2+GI2

=

12+( 1 2 )2

=

5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的內(nèi)切圓，以及勾股定理，正確作出輔助線是關(guān)鍵．