Question

如圖，⊙M與⊙N切于點(diǎn)P，經(jīng)過點(diǎn)P的直線AB交⊙M于點(diǎn)A，交⊙N于點(diǎn)B，以經(jīng)過⊙M直徑AC所在直線為y軸，經(jīng)過點(diǎn)B的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，
（1）求證：OB是⊙N的切線；
（2）如果OC=CM=MA=1，圓N在始終保持與圓M外切，與x軸相切的情況下運(yùn)動，設(shè)N點(diǎn)的坐標(biāo)是（x，y），求y與x的函數(shù)的關(guān)系式．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）首先作輔助線：連接MN、NB，則MN過點(diǎn)P，即可得：∠MAP=∠MPA=∠NPM=∠NBP，則可證得：NB∥AO，又由A0⊥OB，證得：NB⊥OB，則問題得證；
（2）作ND⊥y軸，在Rt△MDN中，利用勾股定理即可求得y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．

解答：（1）證明：連接MN、NB，則MN過點(diǎn)P，
∵M(jìn)A=MN，MQ=NB，
∴∠MAP=∠MPA=∠NPM=∠NBP，
∴NB∥AO，
又A0⊥OB，
∴NB⊥OB．
又NB是半徑，
∴OB是⊙N的切線．

（2）解：作ND⊥y軸，垂足為D．
則MD=|2-y|，ND=|x|，MN=|1+y|，
在Rt△MDN中，MD²+DN²=MN²，
∴|2-y|²+|x|²=|1+y|²，
∴y=

1

6

x²+

1

2

．

點(diǎn)評：此題考查了圓的性質(zhì)，切線的判定以及勾股定理的運(yùn)用等知識．此題綜合性很強(qiáng)，圖形也很復(fù)雜，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用與輔助線的添加方法．