Question

如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線AB解析式為：y=-

3

3

x+

3

．直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點．
（1）寫出線段OA、OB的長度，OA=

 

，OB=

 

；
（2）若點C是AB的中點，過點C作CD⊥x軸于點D，E、F分別為BC、OD的中點，求點E的坐標(biāo)；
（3）在第一象限內(nèi)是否存在點P，使得以P、O、B為頂點的三角形與△OBA相似？若存在，請求出所有符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）令y=0求出x的值即可得到OA，令x=0求出y，即可得到OB；
（2）根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求出CD，再根據(jù)梯形的中位線等于兩底和的一半求出EF，再求出OF，然后寫出點E的坐標(biāo)即可；
（3）根據(jù)直線解析式求出∠ABO=60°，再分①∠PBO=90°時，分∠POB=30°和60°兩種情況求出PB，然后寫出點P的坐標(biāo)；②∠PBO=60°時，點P在直線AB上，寫出直線OP的解析式，然后聯(lián)立兩直線解析式求解即可；③∠PBO=30°時，寫出直線PB和直線OP的解析式，然后聯(lián)立兩直線解析式求解即可．

解答：解：（1）令y=0，則-

3

3

x+

3

=0，
解得x=3，
所以，OA=3，
令x=0，則y=

3

，
所以，OB=

3

；
故答案為：3，

3

；

（2）∵點C是AB的中點，CD⊥x軸于點D，
∴CD是△AOB的中位線，
∴CD=

1

2

OB=

3

2

，OD=

1

2

OA=

3

2

，
∵E、F分別為BC、OD的中點，
∴EF是梯形OBCD的中位線，
∴EF=

1

2

×（

3

2

+

3

）=

3 3

4

，
OF=

1

2

OD=

3

4

，
∴點E的坐標(biāo)為（

3

4

，

3 3

4

）；

（3）∵直線AB的解析式為y=-

3

3

x+

3

，
∴∠ABO=60°，∠OAB=30°，
①∠PBO=90°時，若∠POB=30°，則BP=OB•tan30°=

3

×

3

3

=1，
若∠POB=60°，則BP=OB•tan60°=

3

×

3

=3，
所以，點P的坐標(biāo)為（1，

3

）或（3，

3

）；
②∠PBO=60°時，點P在直線AB上，
此時，直線OP的解析式為y=

3

x，
聯(lián)立

y=- 3 3 x+ 3 y= 3 x

，
解得

x= 3 4 y= 3 3 4

，
此時，點P的坐標(biāo)為（

3

4

，

3 3

4

）；
③∠PBO=30°時，直線PB的解析式為y=-

3

x+

3

，
直線OP的解析式的解析式為y=

3

3

x，
聯(lián)立

y=- 3 x+ 3 y= 3 3 x

，
解得

x= 3 4 y= 3 4

，
此時，點P的坐標(biāo)為（

3

4

，

3

4

），
綜上所述，在第一象限內(nèi)存在點P（1，

3

）或（3，

3

）或（

3

4

，

3 3

4

）或（

3

4

，

3

4

）使以P、O、B為頂點的三角形與△OBA相似．

點評：本題是一次函數(shù)綜合題型，主要利用了一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點的求解，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，梯形的中位線等于兩底和的一半，相似三角形的性質(zhì)，難點在于（3）根據(jù)相似三角形對應(yīng)角相等分情況討論．