Question

6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=a（x-2）²-2與y軸交于點(diǎn)A（0，1），直線AB∥x軸交拋物線于點(diǎn)B，點(diǎn)P是直線AB上一點(diǎn)（不與A、B重合），PQ∥y軸交拋物線于點(diǎn)Q，以PQ為斜邊向左作等腰直角三角形PQM，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．
（1）求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．
（2）當(dāng)線段PQ被x軸平分時(shí)，求m的值．
（3）當(dāng)?shù)妊�直角三角形PQM夾在x軸與直線AB之間的圖形為軸對(duì)稱三角形時(shí)，求m的取值范圍．
（4）直接寫出當(dāng)?shù)妊�直角三角形PQM的兩條直角邊與坐標(biāo)軸有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將A點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式直接求出a；
（2）由P、Q關(guān)于x軸對(duì)稱，且橫坐標(biāo)相同可設(shè)出Q點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線解析式中，即可直接求出m的值；
（3）找到兩個(gè)臨界點(diǎn)：當(dāng)Q點(diǎn)剛好在x軸上時(shí)；當(dāng)M點(diǎn)剛好在x軸上時(shí)．算出這個(gè)兩個(gè)臨界狀態(tài)時(shí)的m值，即可確定符合要求的m的取值范圍；
（4）等腰直角三角形PQM的兩條直角邊與坐標(biāo)軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，也就是y軸同時(shí)與兩直角邊相交，所以只需算出M點(diǎn)恰好在y軸上的臨界狀態(tài)時(shí)的m值即可．

解答 解：（1）把A（0，1）代入y=a（x-2）²-2中，得1=a（0-2）²-2，
∴a=$\frac{3}{4}$，
∴y=$\frac{3}{4}$（x-2）²-2，
（2）設(shè)Q（m，-1），
則-1=$\frac{3}{4}$（m-2）²-2，
∴m₁=2+$\frac{2}{3}\sqrt{3}$，m₂=2-$\frac{2}{3}\sqrt{3}$．
（3）當(dāng)點(diǎn)Q落在x軸上時(shí)，PQ=1，
∴1-[$\frac{3}{4}$（m-2）²-2]=1，
∴m₁=2-$\frac{2}{3}\sqrt{6}$，m₂=2+$\frac{2}{3}\sqrt{6}$，
∴當(dāng)0＜m≤2-$\frac{2}{3}\sqrt{6}$或2-$\frac{2}{3}\sqrt{3}$≤m≤2+$\frac{2}{3}\sqrt{3}$或2+$\frac{2}{3}\sqrt{6}$≤m＜4，為軸對(duì)稱三角形，
（4）當(dāng)M點(diǎn)剛好在y軸上時(shí)：$\frac{1}{2}$|1-[$\frac{3}{4}$（m-2）²-2]|=m，
解得：m=$\frac{4}{3}$或m=$\frac{20}{3}$，
由圖象可知，當(dāng)?shù)妊�直角三角形PQM的兩條直角邊與坐標(biāo)軸有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)m的取值范圍
∴2-$\frac{2}{3}$$\sqrt{6}$＜m＜$\frac{4}{3}$或m＞$\frac{20}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、等腰直角三角形的性質(zhì)、線段長(zhǎng)度的坐標(biāo)表示、解一元二次方程、軸對(duì)稱圖形等知識(shí)點(diǎn)，難度中等．本題巧妙地將動(dòng)態(tài)幾何與二次函數(shù)結(jié)合，具有較強(qiáng)的綜合性，對(duì)學(xué)生的分析能力、想象力提出了較高要求．解答過(guò)程中，找準(zhǔn)臨界狀態(tài)并正確列出方程是關(guān)鍵．