Question

【題目】∠MON=90°，點(diǎn)A，B分別在OM、ON上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)O重合）．

（1）如圖①，AE、BE分別是∠BAO和∠ABO的平分線，隨著點(diǎn)A、點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)，∠AEB=　　°

（2）如圖②，若BC是∠ABN的平分線，BC的反向延長(zhǎng)線與∠OAB的平分線交于點(diǎn)D

①若∠BAO=60°，則∠D=　　　　°．

②隨著點(diǎn)A，B的運(yùn)動(dòng)，∠D的大小會(huì)變嗎？如果不會(huì)，求∠D的度數(shù)；如果會(huì)，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）如圖③，延長(zhǎng)MO至Q，延長(zhǎng)BA至G，已知∠BAO，∠OAG的平分線與∠BOQ的平分線及其延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E、F，在△中，如果有一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍，求∠ABO的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）135°；（2）①45°，②不發(fā)生變化，45°；（3）60°或45°

【解析】

（1）利用三角形內(nèi)角和定理、兩角互余、角平分線性質(zhì)即可求解；

（2）①利用對(duì)頂角相等、兩角互余、兩角互補(bǔ)、角平分線性質(zhì)即可求解；

②證明和推理過(guò)程同①的求解過(guò)程；

（3）由（2）的證明求解思路，不難得出=90°，如果有一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍，所以不確定是哪個(gè)角是哪個(gè)角的三倍，所以需要分情況討論；值得注意的是，∠MON=90°，所以求解出的∠ABO一定要小于90°，注意解得取舍.

（1）

（2）①如圖所示

AD與BO交于點(diǎn)E，

②∠D的度數(shù)不隨A、B的移動(dòng)而發(fā)生變化

設(shè)，因?yàn)?/span>AD平分∠BAO，所以，因?yàn)椤?/span>AOB=90°，所以。因?yàn)?/span>BC平分，所以。又因?yàn)?/span>。所以

（3）因?yàn)椤?/span>BAO與∠BOQ的平分線交于點(diǎn)E，

所以，

所以

因?yàn)?/span>AE、AF分別是∠BAO和∠OAG的平分線，

所以在△AEF中，若有一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍，

則①當(dāng)時(shí)，得，此時(shí)

②當(dāng)時(shí)，得，此時(shí)，舍去。

③當(dāng)時(shí)，得，此時(shí)

④當(dāng)時(shí)，得，此時(shí)，舍去。

綜上可知，∠ABO的度數(shù)為60°或45°。