【題目】已知如圖,在平面直角坐標系xOy中,點A、B、C分別為坐標軸上上的三個點,且OA=1,OB=3,OC=4,
(1)求經(jīng)過A、B、C三點的拋物線的解析式;
(2)在平面直角坐標系xOy中是否存在一點P,使得以以點A、B、C、P為頂點的四邊形為菱形?若存在,請求出點P的坐標;若不存在,請說明理由;
(3)若點M為該拋物線上一動點,在(2)的條件下,請求出當|PM﹣AM|的最大值時點M的坐標,并直接寫出|PM﹣AM|的最大值.
【答案】(1)y=﹣x2﹣x+3;(2)(5,3);(3)(1,0)或(﹣5,﹣);最大值為5.
【解析】試題分析:(1)設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c,把A,B,C三點坐標代入求出a,b,c的值,即可確定出所求拋物線解析式;(2)在平面直角坐標系xOy中存在一點P,使得以點A、B、C、P為頂點的四邊形為菱形,理由為:根據(jù)OA,OB,OC的長,利用勾股定理求出BC與AC的長相等,只有當BP與AC平行且相等時,四邊形ACBP為菱形,可得出BP的長,由OB的長確定出P的縱坐標,確定出P坐標,當點P在第二、三象限時,以點A、B、C、P為頂點的四邊形只能是平行四邊形,不是菱形;(3)利用待定系數(shù)法確定出直線PA解析式,當點M與點P、A不在同一直線上時,根據(jù)三角形的三邊關系|PM﹣AM|<PA,當點M與點P、A在同一直線上時,|PM﹣AM|=PA,當點M與點P、A在同一直線上時,|PM﹣AM|的值最大,即點M為直線PA與拋物線的交點,聯(lián)立直線AP與拋物線解析式,求出當|PM﹣AM|的最大值時M坐標,確定出|PM﹣AM|的最大值即可.
試題解析:(1)設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c, ∵A(1,0)B(0,3)C(﹣4,0),
∴, 解得:a=﹣,b=﹣,c=3,
∴經(jīng)過A、B、C三點的拋物線的解析式為y=﹣x2﹣x+3;
(2)在平面直角坐標系xOy中存在一點P,使得以點A、B、C、P為頂點的四邊形為菱形,理由為:
∵OB=3,OC=4,OA=1, ∴BC=AC=5, 當BP平行且等于AC時,四邊形ACBP為菱形,
∴BP=AC=5,且點P到x軸的距離等于OB, ∴點P的坐標為(5,3),
當點P在第二、三象限時,以點A、B、C、P為頂點的四邊形只能是平行四邊形,不是菱形,
則當點P的坐標為(5,3)時,以點A、B、C、P為頂點的四邊形為菱形;
(3)設直線PA的解析式為y=kx+b(k≠0), ∵A(1,0),P(5,3),
∴, 解得:k=,b=﹣, ∴直線PA的解析式為y=x﹣,
當點M與點P、A不在同一直線上時,根據(jù)三角形的三邊關系|PM﹣AM|<PA,
當點M與點P、A在同一直線上時,|PM﹣AM|=PA,
∴當點M與點P、A在同一直線上時,|PM﹣AM|的值最大,即點M為直線PA與拋物線的交點,
解方程組,得或,
∴點M的坐標為(1,0)或(﹣5,﹣)時,|PM﹣AM|的值最大,此時|PM﹣AM|的最大值為5.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】任意寫出一個數(shù)位不含零的三位數(shù),任取三個數(shù)字中的兩個,組合成所有可能的兩位數(shù)(有6個),求出所有這些兩位數(shù)的和,然后將它除以原三位數(shù)的各個數(shù)位上的數(shù)的和.例如,對三位數(shù)223,取其兩個數(shù)字組成所有可能的兩位數(shù):22,23,22,23,32,32.它們的和是154.三位數(shù)223各位數(shù)的和是7,再換幾個數(shù)試一試,你發(fā)現(xiàn)了什么?請寫出你按上面方法的探索過程和所發(fā)現(xiàn)的結果,并運用代數(shù)式的知識說明所發(fā)現(xiàn)的結果的正確性.
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【題目】觀察下列等式,并探究
①
②
③
……
(1)寫出第④個等式:______;
(2)某同學發(fā)現(xiàn),四個連續(xù)自然數(shù)的積加上1后,結果都將是某一個整數(shù)的平方.當這四個數(shù)較大時可以進行簡便計算,如:
.
請你猜想寫出第n個等式,用含有n的代數(shù)式表示,并通過計算驗證你的猜想.
(3)任何實數(shù)的平方都是非負數(shù)(即),一個非負數(shù)與一個正數(shù)的和必定是一個正數(shù)(即時,).根據(jù)以上的規(guī)律和方法試說明:無論x為什么實數(shù),多項式的值永遠都是正數(shù).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,下列說法:
①若a+b+c=0,則b2﹣4ac>0;
②若方程兩根為﹣1和2,則2a+c=0;
③若方程ax2+c=0有兩個不相等的實根,則方程ax2+bx+c=0必有兩個不相等的實根;
④若b=2a+c,則方程有兩個不相等的實根.其中正確的有( 。
A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④
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【題目】你知道古代數(shù)學家怎樣解一元二次方程嗎?以x2﹣2x﹣3=0為例,大致過程如下:第一步:將原方程變形為x2﹣2x=3,即x(x﹣2)=3.
第二步:構造一個長為x,寬為(x﹣2)的長方形,長比寬大2,且面積為3,如圖所示.
第三步:用四個這樣的長方形圍成一個大正方形,中間是一個小正方形,如圖所示.
第四步:計算大正方形面積用x表示為 .長方形面積為常數(shù) .小正方形面積為常數(shù) .
由觀察可得,大正方形面積等于四個長方形與小正方形面積之和,得方程 ,兩邊開方可求得:x1=3,x2=﹣1.
(1)第四步中橫線上應填入 ; ; ; .
(2)請參考古人的思考過程,畫出示意圖,寫出步驟,解方程x2﹣x﹣1=0.
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【題目】如圖,矩形ABCD的頂點A在第一象限,AB∥x軸,AD∥y軸,且對角線的交點與原點O重合.在邊AB從小于AD到大于AD的變化過程中,若矩形ABCD的周長始終保持不變,則經(jīng)過動點A的反比例函數(shù)y=(k≠0)中k的值的變化情況是( )
A. 一直增大 B. 一直減小 C. 先增大后減小 D. 先減小后增大
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【題目】已知某市2016年企業(yè)用水量x(噸)與該月應交的水費y(元)之間的函數(shù)關系如圖.
(1)當x≥50時,求y關于x的函數(shù)關系式;
(2)若某企業(yè)2016年10月份的水費為620元,求該企業(yè)2016年10月份的用水量;
(3)為鼓勵企業(yè)節(jié)約用水,該市自2017年1月開始對月用水量超過80噸的企業(yè)加收污水處理費,規(guī)定:若企業(yè)月用水量x超過80噸,則除按2016年收費標準收取水費外,超過80噸的部分每噸另加收元的污水處理費,若某企業(yè)2017年3月份的水費和污水處理費共600元,求這個企業(yè)3月份的用水量.
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【題目】如圖,已知點A(1,a)是反比例函數(shù)的圖象上一點,直線與反比例函數(shù)的圖象的交點為點B、D,且B(3,﹣1),求:
(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)求點D坐標,并直接寫出y1>y2時x的取值范圍;
(3)動點P(x,0)在x軸的正半軸上運動,當線段PA與線段PB之差達到最大時,求點P的坐標.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形的兩條邊分別在軸和軸上,已知點、點.
(1)若把矩形沿直線折疊,使點落在點處,直線與的交點分別為,求折痕的長;
(2)在(1)的條件下,點在軸上,在平面內是否存在點,使以為頂點的四邊形是菱形?若存在,則請求出點的坐標;若不存在,請說明理由;
(3)如圖,若為邊上的一動點,在上取一點,將矩形繞點順時針旋轉一周,在旋轉的過程中,的對應點為,請直接寫出的最大值和最小值.
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