【題目】你知道古代數(shù)學(xué)家怎樣解一元二次方程嗎?以x2﹣2x﹣3=0為例,大致過程如下:第一步:將原方程變形為x2﹣2x=3,即x(x﹣2)=3.
第二步:構(gòu)造一個長為x,寬為(x﹣2)的長方形,長比寬大2,且面積為3,如圖所示.
第三步:用四個這樣的長方形圍成一個大正方形,中間是一個小正方形,如圖所示.
第四步:計算大正方形面積用x表示為 .長方形面積為常數(shù) .小正方形面積為常數(shù) .
由觀察可得,大正方形面積等于四個長方形與小正方形面積之和,得方程 ,兩邊開方可求得:x1=3,x2=﹣1.
(1)第四步中橫線上應(yīng)填入 ; ; ; .
(2)請參考古人的思考過程,畫出示意圖,寫出步驟,解方程x2﹣x﹣1=0.
【答案】(1); 3 ; 4 ;.(2)答案見解析.
【解析】
(1)根據(jù)題意先表示出大正方形的邊長再根據(jù)正方形的面積公式即可得出大正方形面積;
根據(jù)題意先得出小正方形的邊長,再根據(jù)大正方形面積等于四個長方形與小正方形面積之和,即可得出答案;
(2)先將原方程變形,構(gòu)造出一個長為x,寬為(x-1)的長方形,長比寬大1,且面積為1,再用四個這樣的長方形圍成一個大正方形,中間是一個小正方形,然后根據(jù)大正方形面積等于四個長方形與小正方形面積之和,得出一個方程,兩邊開方,即可求出方程的解.
(1)∵大正方形的邊長是[x+(x-2)],
∴大正方形面積是:[x+(x-2)]2=(2x-2)2;
∵小正方形的邊長是:[x+(x-2)]-2(x-2)=2,長方形的面積為3,
又∵大正方形面積等于四個長方形與小正方形面積之和,
∴(2x-2)2=4×3+22=16;
第四步中橫線上應(yīng)填入; 3 ; 4 ;.
(2)解:第一步:將原方程變形為x2﹣x=1,即x(x﹣1)=1.
第二步:構(gòu)造一個長為x,寬為(x﹣1)的長方形,長比寬大1,且面積為1.
第三步:用四個這樣的長方形圍成一個大正方形,中間是一個小正方形.
第四步:計算大正方形面積用x表示為[x+(x-1)]2.
由觀察可得,大正方形面積等于四個長方形與小正方形面積之和,得方程[x+(x﹣1)]2=4×1+12,兩邊開方可求得:x1=,x2=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小明家2002年四個季度的用電量如下:
季度名稱 | 用電量(單位:千瓦時) |
第一季度 | 250 |
第二季度 | 150 |
第三季度 | 400 |
第四季度 | 200 |
其中各種電器用電量如下表:
各種電器 | 用電量(單位:千瓦時) |
空調(diào) | 250 |
冰箱 | 400 |
照明 | 100 |
彩電 | 150 |
其他 | 100 |
小明根據(jù)上面的數(shù)據(jù)制成下面的統(tǒng)計圖.
根據(jù)以上三幅統(tǒng)計圖回答:
(1)從哪幅統(tǒng)計圖中可以看出各個季度用電量變化情況?
(2)從哪幅統(tǒng)計圖中可以看出冰箱用電量超過總用電量的?
(3)從哪幅統(tǒng)計圖中可以清楚地看出空調(diào)的用電量?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】菱形ABCD中,∠B=60°,點(diǎn)E,F分別是BC,CD上的兩個動點(diǎn),且始終保持∠AEF=60°.
(1)試判斷△AEF的形狀并說明理由;
(2)若菱形的邊長為2,求△ECF周長的最小值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩長方形的邊長如圖所示(m為正整數(shù)),其面積分別為S1、S2.
(1)用“<”或“>”號填空:S1 S2;
(2)若一個正方形與甲的周長相等.
①求該正方形的邊長(用含m的代數(shù)式表示);
②若該正方形的面積為S3,試探究:S3與S1的差(即S3﹣S1)是否為常數(shù)?若為常數(shù),求出這個常數(shù);如果不是,請說明理由;
(3)若滿足條件0<n<|S1﹣S2|的整數(shù)n有且只有10個,求m的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在□ABCD中,E為BC的中點(diǎn),過點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F,延長DC,交FE的延長線于點(diǎn)G,連結(jié)DF,已知∠FDG=45°
(1)求證:GD=GF.
(2)已知BC=10, .求 CD的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A、B、C分別為坐標(biāo)軸上上的三個點(diǎn),且OA=1,OB=3,OC=4,
(1)求經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式;
(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中是否存在一點(diǎn)P,使得以以點(diǎn)A、B、C、P為頂點(diǎn)的四邊形為菱形?若存在,請求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;
(3)若點(diǎn)M為該拋物線上一動點(diǎn),在(2)的條件下,請求出當(dāng)|PM﹣AM|的最大值時點(diǎn)M的坐標(biāo),并直接寫出|PM﹣AM|的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在一次活動中,主辦方共準(zhǔn)備了3600盆甲種花和2900盆乙種花,計劃用甲、乙兩種花搭造出A、B兩種園藝造型共50個,搭造要求的花盆數(shù)如下表所示:
請問符合要求的搭造方案有幾種?請寫出具體的方案。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校為了做好大課間活動,計劃用400元購買10件體育用品,備選體育用品及單價如下表(單位:元)
備用體育用品 | 籃球 | 排球 | 羽毛球拍 |
單位(元) | 50 | 40 | 25 |
(1)若400元全部用來購買籃球和羽毛球拍共10件,問籃球和羽毛球拍各購買多少件?
(2)若400元全部用來購買籃球、排球和羽毛球拍三種共10件,能實(shí)現(xiàn)嗎?若能,求出籃球、排球、羽毛球拍各購買多少件;若不能,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在中,分別是的中點(diǎn),若等腰繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn),得到等腰,設(shè)旋轉(zhuǎn)角為,記直線與的交點(diǎn)為
(1)如圖,當(dāng)時,線段的長等于 ,線段的長等于 .(直接填寫結(jié)果)
(2)如圖,當(dāng)時,求證:,且;
(3)設(shè)的中點(diǎn)為,則線段的長為 (直接填寫結(jié)果).
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