【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=﹣x2﹣x﹣3交x軸于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),交y軸于點(diǎn)C
(1)求直線AC的解析式;
(2)點(diǎn)P是直線AC上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A,點(diǎn)C重合),過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸交AC于點(diǎn)D,求PD的最大值;
(3)將△BOC沿直線BC平移,點(diǎn)B平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B′,點(diǎn)O平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)O′,點(diǎn)C平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C′,點(diǎn)S是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn),若以A,C,O′,S為頂點(diǎn)的四邊形是菱形,求出所有符合條件的點(diǎn)S的坐標(biāo).
【答案】(1);(2);(3)(,)或(,)或()或()或()
【解析】
(1),令y=0,則x=-1或-6,故點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為:(-6,0)、(-1,0)、(0,-3),然后用待定系數(shù)法即可求解;(2)設(shè)點(diǎn)P(x,),則點(diǎn)D(x,),則PD=-()=,然后配方法分析其最值,即可求解;(3)分AC是菱形的邊、AC是對(duì)角線兩種情況,分別求解即可.
解:(1)當(dāng)y=0時(shí),
解得:x=-1或-6,
當(dāng)x=0時(shí),y=-3
∴點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為:(-6,0)、(-1,0)、(0,-3),
設(shè)直線AC的表達(dá)式為:
將點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入得:
解得:
∴直線AC的解析式為:
(2)設(shè)點(diǎn)P(x,),則點(diǎn)D(x,)
則PD=-()=
∵<0,故PD有最大值為
(3)設(shè)直線BC的表達(dá)式為:
將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入得:
解得:
∴直線BC的解析式為:
①如圖3或4中,當(dāng)四邊形ACSO'是菱形時(shí),設(shè)AS交CO′于K,AC=AO′=3,
點(diǎn)O平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)O′,平移直線的k為,
則設(shè)點(diǎn)O向左平移m個(gè)單位,則向上平移3m個(gè)單位,則點(diǎn)O′(-m,3m),設(shè)點(diǎn)S(a,b),
∴(m+6)2+(-3m)2=(3)2,
解得m=,
∴O′(,)或(,)
由中點(diǎn)公式可得:K(,)或(,),
∵AK=KS,
∴S(,)或(,)
②如圖5或6中,當(dāng)四邊形ACO'S是菱形時(shí),設(shè)CS交AO′于K,AC=CO′=3,
∵點(diǎn)O平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)O′,平移直線的k為,C(0,-3),設(shè)O′(m,-3m),
∴m2+(-3m+3)2=(3)2,
解得m=,
∴O′()或(),
由中點(diǎn)公式可得:K()或(),
∵CK=KS,
∴S()或()
③如圖7中,當(dāng)四邊形ASCO′是菱形時(shí),SO垂直平分線段AC,
直線SO′的解析式為
由 ,
解得 ,
∴O′()
∵KS=KO′,
∴S()
綜上所述,滿足條件的點(diǎn)S坐標(biāo)為(,)或(,)或()或()或()
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn),將它的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比稱為點(diǎn)的“理想值”,記作.如的“理想值”.
(1)①若點(diǎn)在直線上,則點(diǎn)的“理想值”等于_______;
②如圖,,的半徑為1.若點(diǎn)在上,則點(diǎn)的“理想值”的取值范圍是_______.
(2)點(diǎn)在直線上,的半徑為1,點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)都有,求點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍;
(3),是以為半徑的上任意一點(diǎn),當(dāng)時(shí),畫(huà)出滿足條件的最大圓,并直接寫(xiě)出相應(yīng)的半徑的值.(要求畫(huà)圖位置準(zhǔn)確,但不必尺規(guī)作圖)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=,經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,3)、B(0,1),過(guò)點(diǎn)A作x軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)C.
(1)求拋物線的表達(dá)式及其頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)如圖,點(diǎn)G是BC上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),分別過(guò)點(diǎn)G作GH⊥BC于點(diǎn)H、作GE⊥x軸于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F,在點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,△GFH的周長(zhǎng)是否存在最大值?若存在,求出這個(gè)最大值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,平面直角坐標(biāo)系中,矩形OABC的兩邊分別在x軸和y軸上,OA=cm,OC=8cm,現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從O、C同時(shí)出發(fā),P在線段OA上沿OA方向以每秒cm的速度勻速運(yùn)動(dòng),Q在線段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度勻速運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.
(1)用t的式子表示△OPQ的面積S;
(2)求證:四邊形OPBQ的面積是一個(gè)定值,并求出這個(gè)定值;
(3)當(dāng)△OPQ與△PAB和△QPB相似時(shí),拋物線y=x 2+bx+c經(jīng)過(guò)B、P兩點(diǎn),過(guò)線段BP上一動(dòng)點(diǎn)M作y軸的平行線交拋物線于N,當(dāng)線段MN的長(zhǎng)取最大值時(shí),求直線MN把四邊形OPBQ分成兩部分的面積之比.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】嘉善縣將開(kāi)展以“珍愛(ài)生命,鐵拳護(hù)航”為主題的交通知識(shí)競(jìng)賽,某校對(duì)參加選拔賽的若干名同學(xué)的成績(jī)按A,B,C,D四個(gè)等級(jí)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),繪制成如下不完整的頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表和扇形統(tǒng)計(jì)圖
成績(jī)等級(jí) | 頻數(shù)(人數(shù)) | 頻率 |
A | 4 | 0.08 |
B | m | 0.52 |
C | n | |
D | ||
合計(jì) | 1 |
(1)求m= ,n= ;
(2)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,求“C等級(jí)”所對(duì)應(yīng)圓心角的度數(shù);
(3)“A等級(jí)”的4名同學(xué)中有3名男生和1名女生,現(xiàn)從中隨機(jī)挑選2名同學(xué)代表學(xué)校參加全縣比賽,請(qǐng)用樹(shù)狀圖法或列表法求出恰好選中“一男一女”的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】老張用400元購(gòu)買(mǎi)了若干只種兔,老李用440元也購(gòu)買(mǎi)了相同只數(shù)的種兔,但單價(jià)比老張購(gòu)買(mǎi)的種兔的單價(jià)貴5元.
(1)老張與老李購(gòu)買(mǎi)的種兔共有多少只?
(2)一年后,老張養(yǎng)兔數(shù)比買(mǎi)入種兔數(shù)增加了2只,老李養(yǎng)兔數(shù)比買(mǎi)入種兔數(shù)的2倍少1只,兩人將兔子全部售出,則售價(jià)至少為多少元時(shí),兩人所獲得的總利潤(rùn)不低于960元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A(﹣3,2),B(0,1),將線段AB沿x軸的正方向平移n(n>0)個(gè)單位,得到線段A′,B′恰好都落在反比例函數(shù)y(m≠0)的圖象上.
(1)用含n的代數(shù)式表示點(diǎn)A′,B′的坐標(biāo);
(2)求n的值和反比例函數(shù)y(m≠0)的表達(dá)式;
(3)點(diǎn)C為反比例函數(shù)y(m≠0)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),直線CA′與x軸交于點(diǎn)D,若CD=2A′D,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)C的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知矩形ABCD的一邊AD=8,將矩形ABCD折疊,使得頂點(diǎn)B落在CD邊上的P點(diǎn)處.
(1)如圖1,已知折痕與邊BC交于點(diǎn)O,連接AP、OP、OA.求證:△OCP∽△PDA;
(2)若圖1中△OCP與△PDA的面積比為1:4,求邊AB的長(zhǎng)
(3)如圖2,在(2)的條件下,擦去折痕AO、線段OP,連接BP,動(dòng)點(diǎn)M在線段AP上(點(diǎn)M與點(diǎn)P、A不重合),動(dòng)點(diǎn)N在線段AB的延長(zhǎng)線上,且BN=PM,連接MN交與PB點(diǎn)F,作ME⊥BP于點(diǎn)E,試問(wèn)當(dāng)點(diǎn)M、N在移動(dòng)過(guò)程中,線段EF的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化?若變化,說(shuō)明理由;若不變,求出線段EF的長(zhǎng)度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C、D在⊙O上,∠A=2∠BCD,點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上,∠AED=∠ABC
(1)求證:DE與⊙O相切;
(2)若BF=2,DF=,求⊙O的半徑.
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