Question

【題目】已知矩形ABCD的一邊AD=8，將矩形ABCD折疊，使得頂點(diǎn)B落在CD邊上的P點(diǎn)處．

（1）如圖1，已知折痕與邊BC交于點(diǎn)O，連接AP、OP、OA．求證：△OCP∽△PDA；

（2）若圖1中△OCP與△PDA的面積比為1：4，求邊AB的長

（3）如圖2，在(2)的條件下，擦去折痕AO、線段OP，連接BP，動(dòng)點(diǎn)M在線段AP上（點(diǎn)M與點(diǎn)P、A不重合），動(dòng)點(diǎn)N在線段AB的延長線上，且BN=PM，連接MN交與PB點(diǎn)F，作ME⊥BP于點(diǎn)E，試問當(dāng)點(diǎn)M、N在移動(dòng)過程中，線段EF的長度是否發(fā)生變化？若變化，說明理由；若不變，求出線段EF的長度．

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）10；（3）線段EF的長度不變，長度為．

【解析】

（1）只需證明兩對對應(yīng)角分別相等即可證到兩個(gè)三角形相似；

（2）由題易得相似比為1:2，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出PC=4，設(shè)OP=x，則OB=x，CO=8-x，在Rt△PCO中運(yùn)用勾股定理求出OP的長，從而根據(jù)AB=AP=2OP求出AB長；

（3）作MQ∥AN，交PB于點(diǎn)Q，證明三角形MQP為等腰三角形，MP=MQ，再證得△MFQ≌△NFB，得到QF=BF，EF=EQ+QF=PQ+QB=PB，由（2）中結(jié)論求得PB的長就可以求出EF的長．

解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°．

由折疊可得：∠APO=∠B=90°．

∴∠APD=90°∠CPO=∠POC．

∵∠D=∠C，∠APD=∠POC．

∴△OCP∽△PDA．

（2）如圖1：

∵△OCP與△PDA的面積比為1：4，△OCP∽△PDA，

∴．

∴PD=2OC，PA=2OP，DA=2CP．

∵AD=8，

∴CP=4，BC=8．

設(shè)OP=x，則OB=x，CO=8-x．

在Rt△PCO中，

∵∠C=90°，CP=4，OP=x，CO=8-x，

∴x2=（8-x）2+42．

解得：x=5．

∴AB=AP=2OP=10．

∴邊AB的長為10．

（3）作MQ∥AN，交PB于點(diǎn)Q，如圖2．

∵AP=AB，MQ∥AN，

∴∠APB=∠ABP，∠ABP=∠MQP．

∴∠APB=∠MQP．

∴MP=MQ．

∵MP=MQ，ME⊥PQ，

∴PE=EQ=PQ．

∵BN=PM，MP=MQ，

∴BN=QM．

∵MQ∥AN，

∴∠QMF=∠BNF．

在△MFQ和△NFB中，

，

∴△MFQ≌△NFB．

∴QF=BF．

∴QF=QB．

∴EF=EQ+QF=PQ+QB=PB．

由（2）中的結(jié)論可得：

PC=4，BC=8，∠C=90°．

∴PB=．

∴EF=PB=．

∴當(dāng)點(diǎn)M、N在移動(dòng)過程中，線段EF的長度不變，長度為．