Question

兩個反比例函數y=

k1

x

和y=

k2

x

（k₁＞k₂＞0）在第一象限內的圖象如圖所示，動點P在y=

k1

x

的圖象上，PC⊥x軸于點C，交y=

k2

x

的圖象于點A，PD⊥y軸于點D，交y=

k2

x

的圖象于點B．
（1）求證：四邊形PAOB的面積是定值；
（2）當

PA

PC

=

2

3

時，求

DB

BP

的值；
（3）若點P的坐標為（5，2），△OAB、△ABP的面積分別記為S_△OAB′S_△ABP．設S=S_△OAB-S_△ABP′
①求k₁的值；
②當k₂為何值時，S有最大值，最大值為多少？

Answer 1

分析：（1）讓矩形OCPD的面積減去周圍幾個直角三角形的面積，其中面積應整理為和函數上的點的坐標有關的式子；
（2）利用（1）中兩個三角形的面積相等，得到相關線段的比值；
（3）把P坐標代入所在的反比例函數即可求得比例系數的值；所求面積為（1）中所求的面積減去2個△ABP的面積，整理為二次函數的一般形式，求出最值．

解答：（1）證明：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₃，y₃），
△AOC與△BOD的面積分別為S₁，S₂，矩形PCOD的面積為S₃，
由題意，得y1=

k2

x1

，y2=

k2

x2

，y3=

k1

x3

，
∴S1=

1

2

x1y1=

1

2

k2，S2=

1

2

x2y2=

1

2

k2，S₃=x₃y₃=k₁，
∴S_{四邊形PAOB}=S₃-（S₁+S₂）=K₁-K₂，
∴四邊形PAOB的面積是定值；（2分）

（2）解：由（1）可知S₁=S₂，則OD•BD=OC•AC
又∵PA=

2

3

PC
∴AC=

1

3

PC
∵DP=OC，OD=PC
∴BD=

1

3

DP
∴

DB

BP

=

1

2

；（4分）

（3）解：①由題意知：k₁=x_Py_P=10；（5分）
②A、B兩點坐標分別為A(5，

k2

5

)，B(

k2

2

，2)
∴S△ABP=

1

2

AP•BP=

1

2

(2-

k2

5

)(5-

k2

2

)
∴S=S四邊形PAOB-2S△ABP=10-k2-2×

1

2

(2-

k2

5

)(5-

k2

2

)
∴S=-

1

10

k22+k2
∴當k₂=5時，s有最大值

5

2

．（7分）

點評：求坐標系內圖形的面積，通常整理為矩形面積減去若干直角三角形的面積的形式．在做題過程中應注意所列的式子都應與反比例函數上的點的坐標有關．