Question

15．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²+bx+2與x軸交于點A（1，0），與y軸交于點B，其對稱軸是x=-1，點C是y軸上一點，其縱坐標為m，連結AC，將線段AC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AD，以AC、AD為邊作正方形ACED．
（1）用含m的代數(shù)式表示點D的橫坐標為m+1．
（2）求該拋物線所對應的函數(shù)表達式．
（3）當點E落在拋物線y=ax²+bx+2上時，求此時m的值．
（4）令拋物線與x軸另一交點為點F，連結BF，直接寫出正方形ACED的一邊與BF平行時的m的值．

Answer 1

分析 （1）作DH⊥x軸于H，如圖1，先利用等角的余角相等得到∠ACO=∠DAH，則可根據(jù)“AAS”證明△ACO≌△DAH，所以AH=OC=m，易得點D的橫坐標為m+1；
（2）利用對稱軸方程和二次函數(shù)圖象上點的坐標特征列方程組$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2a}=-1}\\{a+b+c=0}\end{array}\right.$，解方程組求出a和b即可得到拋物線的解析式；
（3）作EG⊥y軸于G，如圖1，通過與（1）方法一樣證明△ACO≌△CEG得到GE=OC=m，CG=OA=1，則E點坐標為（m，m+1），然后把E點坐標代入（2）中解析式得到關于m的方程，再解方程即可得到m的值；
（4）先通過解方程-$\frac{2}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x+2=0得F（-3，0），計算當x=0時的函數(shù)值得到B（0，2），討論：當點C在y軸的正半軸上，即m＞0時，如圖1，證明△ADH∽△FBO，利用相似比可得到m的值；當點C在y軸的負半軸上，即m＜0時，如圖2，證明△AOC∽△FOB，利用相似比可計算出m．

解答 解：（1）作DH⊥x軸于H，如圖1，
∵四邊形ADEC為正方形，
∴AC=AD，∠CAD=90°，
∵∠CAO+∠ACO=90°，∠CAO+∠DAH=90°，
∴∠ACO=∠DAH，
在△ACO和△DAH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOC=∠AHD}\\{∠ACO=∠DAH}\\{AC=DA}\end{array}\right.$，
∴△ACO≌△DAH，
∴AH=OC=m，
∴OH=OA+AH=m+1，
∴點D的橫坐標為m+1；
故答案為m+1；
（2）根據(jù)題意得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2a}=-1}\\{a+b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{2}{3}}\\{b=-\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
故拋物線的解析式為y=-$\frac{2}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x+2；
（3）作EG⊥y軸于G，如圖1，
與（1）方法一樣可證明得△ACO≌△CEG，則GE=OC=m，CG=OA=1，
∴E點坐標為（m，m+1），
把E（m，m+1）代入y=-$\frac{2}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x+2得-$\frac{2}{3}$m²-$\frac{4}{3}$m+2=m+1，
整理得2m²+7m-3=0，解得m₁=$\frac{-7+\sqrt{73}}{4}$，m₂=$\frac{-7-\sqrt{73}}{4}$，
即m的值為$\frac{-7+\sqrt{73}}{4}$或$\frac{-7-\sqrt{73}}{4}$；
（4）當y=0時，-$\frac{2}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x+2=0，解得x₁=-3，x₂=1，則F（-3，0），
當x=0時，y=-$\frac{2}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x+2=2，則B（0，2），
當點C在y軸的正半軸上，即m＞0時，如圖1，
∵AD∥BF，
∴∠DAH=∠BFO，
∴△ADH∽△FBO，
∴AH：OF=DH：OB，即m：3=1：2，解得m=$\frac{3}{2}$；
當點C在y軸的負半軸上，即m＜0時，如圖2，
∵AC∥BF，
∴∠ACO=∠OBF，
∴△AOC∽△FOB，
∴AO：OF=OC：OB，1，即1：3=-m：2，解得m=-$\frac{2}{3}$，
即m的值為$\frac{3}{2}$或-$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)；會利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式；靈活應用全等三角形的知識解決線段相等的問題，利用相似比計算線段的長；理解坐標與圖形性質(zhì)．