Question

5．如圖，拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A（-1，0）、B（2，0）兩點，與y軸交于點C（0，-2），過A、C畫直線．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）點P在x軸正半軸上，且PA=PC，求OP的長；
（3）若M為線段OB上的一個動點，過點M做MN平行于y軸交拋物線于點N，當點M運動到何處時，四邊形ACNB的面積最大？求出此時點M的坐標及四邊形ACNB面積的最大值？

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)點的特點，設成交點式，用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，
（2）設出點P的坐標，表示出PA=m+1，PC=$\sqrt{{m}^{2}+{2}^{2}}$，由PA=PC，求出m即可；
（3）把四邊形分成△AOC，梯形OCNM，△BMN，分別求出面積，確定出函數(shù)解析式即可．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A（-1，0）、B（2，0）兩點，
∴設拋物線解析式為y=a（x+1）（x-2），
∴拋物線與y軸交于點C（0，-2），
∴-2=a×1×（-2），
∴a=1，
∴拋物線解析式為y=（x+1）（x-2）=x²-x-2，
（2）∵點P在x軸正半軸上，
∴設點P（m，0）（m＞0），
∴PA=m+1，PC=$\sqrt{{m}^{2}+{2}^{2}}$，
∵PA=PC，
∴m+1=$\sqrt{{m}^{2}+{2}^{2}}$，
∴m=$\frac{3}{2}$，
∴OP=m=$\frac{3}{2}$；
（3）如圖，

∵M為線段OB上的一個動點，
∴設M（n，0），（0＜n＜2）
∵過點M做MN平行于y軸交拋物線于點N，
∴n（n，n²-n-2）
∵OA=1，OC=2，OM=n，MN=|n²-n-2|=-（n²-n-2）=-n²+n+2，MB=2-n，
∴S_{四邊形ACNB}=S_△AOC+S_梯形OCNM+S_△BMN
=$\frac{1}{2}$OA×OC+$\frac{1}{2}$（OC+MN）×OM+$\frac{1}{2}$MB×MN，
=$\frac{1}{2}$×1×2+$\frac{1}{2}$[2+（-n²+n+2）]n+$\frac{1}{2}$×（2-n）×（-n²+n+2）
=-n²+2n+3
=-（n-1）²+4，
∵0＜n＜2，
∴當n=1時，S_{四邊形ACNB}面積最大，最大值為4，
∴M（1，0）

點評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，兩點間的距離公式，面積的計算，解本題的關鍵是表示線段，難點是四邊形面積的分割．