Question

10．如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，且∠EAF=45°，則△CEF的周長(zhǎng)為2．

Answer 1

分析 將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADH，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得HD=BE，AH=AE，∠DAH=∠BAE，然后求出∠FAH=∠EAF，再利用“邊角邊”證明△AEF和△AHF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得EF=FH，然后求出△CEF的周長(zhǎng)=BC+CD，再根據(jù)正方形的邊長(zhǎng)求解即可．

解答 解：如圖，將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADH，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，HD=BE，AH=AE，∠DAH=∠BAE，
所以，∠FAH=∠DAH+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=90°-∠EAF，
∵∠EAF=45°，
∴∠FAH=90°-45°=45°，
∴∠FAH=∠EAF，
在△AEF和△AHF中，$\left\{\begin{array}{l}{AH=AE}\\{∠FAH=∠EAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AHF（SAS），
∴EF=FH，
∴△CEF的周長(zhǎng)=EF+CF+CE，
=FH+CF+CE，
=FD+DH+CF+CE，
=DF+BE+CF+CE，
=（BE+CE）+（DF+CF），
=BC+CD，
∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，
∴△CEF的周長(zhǎng)為1+1=2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，難點(diǎn)在于利用旋轉(zhuǎn)變換作出全等三角形并用正方形的邊長(zhǎng)表示出△CEF的周長(zhǎng)．