Question

如圖，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D是AC邊上一點，過A，D分別作AE⊥AB，DE⊥BD，其垂線相交于E，求證：BD=DE．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：證明題

分析：在CB上截取作C=CD，由AC=CB得BF=AD，再根據(jù)等角的余角相等得到∠ADE=∠DBC，接著判斷△CFD和△CAB都是等腰直角三角形，得到∠CFD=∠CDF=∠CBA=∠CAB=45°，所以∠DAE=∠BFD=135°，然后根據(jù)“AAS”可判斷△BFD≌△ADE，則根據(jù)全等的性質(zhì)即可得到BD=DE．

解答：證明：在CB上截取作C=CD，
∵AC=CB，
∴BF=AD，
∵∠C=90°，BD⊥DE，
∴∠CBD+∠BDC=90°，∠ADE+∠BDC=90°，
∴∠ADE=∠DBC，
∵CF=CD，AC=BC，
∴△CFD和△CAB都是等腰直角三角形，
∴∠CFD=∠CDF=∠CBA=∠CAB=45°，
∴∠DAE=∠BFD=135°，
在△BFD和△ADE中，

∠BFD=∠DAE ∠DBF=∠ADE BF=DA

，
∴△BFD≌△ADE（AAS），
∴BD=DE．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當?shù)呐卸�條件．本題的關(guān)鍵是構(gòu)造△BFD與△ADE全等．