Question

如圖，AB為⊙O的直徑，C為BA的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，D為⊙O上一點(diǎn)，且∠CDA=∠CBD．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）過(guò)點(diǎn)B作⊙O的切線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若tan∠ADC=

1

2

，求sin∠E的值．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定

專(zhuān)題：

分析：（1）如圖，連接OD，證明∠CDO=90°問(wèn)題即可解決；
（2）如圖，作輔助線，首先證明△ADB∽△DMB，進(jìn)而得到

AD

DB

=

DM

BM

；運(yùn)用勾股定理結(jié)合正切的定義即可解決問(wèn)題．

解答：解：（1）如圖，連接OD；
∵OA=OD，OB=OD；
∴∠OAD=∠ODA，∠OBD=∠ODB；
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠OAD+∠OBD=90°，
∴∠ODA+∠OBD=90°，
而∠CDA=∠CBD，
∴∠ODA+∠CDA=90°，
即∠CDO=90°，
∴CD是⊙O的切線．
（2）如圖，過(guò)點(diǎn)B、E分別作BM⊥DE，MN⊥BD，垂足為M、N．
∵CD為⊙O的切線，
∴∠ADM=∠BAD，而∠ADB=∠DMB，
∴△ADB∽△DMB，
∴

AD

DB

=

DM

BM

；
∵tan∠ADC=tan∠ABD=

AD

BD

=

1

2

，
∴

DM

BM

=

1

2

；
設(shè)DM=x，則BM=2x；
∵BE、DE是⊙O的切線，
∴BE=DE（設(shè)為y），
則ME=y-x；由勾股定理得：
y²=（y-x）²+（2x）²，
解得：y=

5x

2

，ME=

5x

2

-x=

3x

2

，
∴tan∠E=

2x

3x 2

=

4

3

，
即sin∠E的值為

4

3

．

點(diǎn)評(píng)：考查了切線的判定，該命題以圓為載體，以切線的判定、圓周角定理及其推論、相似三角形的判定及其應(yīng)用為核心構(gòu)造而成；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用有關(guān)定理來(lái)分析、判斷、推理或解答．