Question

15．如圖，在平行四邊形ABCD中，BC=6cm，將△ABC沿對(duì)角線AC折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在點(diǎn)E處，BC邊的對(duì)應(yīng)邊CE與AD邊交于點(diǎn)F，此時(shí)△CDF為等邊三角形．
（1）求AB的長(zhǎng)．
（2）求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得DF=DC=FC，∠D=60°，根據(jù)折疊的性質(zhì)，∠BCA=∠ECA，再利用平行四邊形的性質(zhì)證明∠DAC=30°，∠ACD=90°，利用直角三角形30°角所對(duì)的邊等于斜邊的一半可得CD長(zhǎng)，進(jìn)而可得AB的長(zhǎng)；
（2）利用三角函數(shù)值計(jì)算出AC，然后根據(jù)三角形的中線平分三角形的面積可得S_△ACF=$\frac{1}{2}$S_△ACD，進(jìn)而可得答案．

解答 解：（1）∵△CDF為等邊三角形，
∴DF=DC=FC，∠D=60°，
根據(jù)折疊的性質(zhì)，∠BCA=∠ECA，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC=6cm，AB=CD，
∴∠FAC=∠BCA，
∴∠FAC=∠FCA，
∴FA=FC，
∴∠DAC=30°，
∴∠ACD=90°，
∴CD=$\frac{1}{2}$AD=3cm，
∵AB=3cm；

（2）∵CD=3cm，∠ACD=90°，∠DAC=30°，
∴AC=3$\sqrt{3}$cm，
∴S_△ACF=$\frac{1}{2}$S_△ACD=$\frac{1}{4}$×AC•CD=$\frac{1}{4}$×3×3$\sqrt{3}$=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$（cm²）．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及翻折變換，關(guān)鍵是掌握平行四邊形的對(duì)邊平行且相等，直角三角形30°角所對(duì)的邊等于斜邊的一半．