Question

【題目】如圖，，是內一點，.若、分別是邊、上的動點，則周長的最小值為_______.

Answer 1

【答案】10

【解析】

作點P關于OB的對稱點P′，點P關于OA的對稱點P″，連接P′P″交OB于R，交OA于Q，連接PR、PQ，如圖3，利用對稱的性質得到△PQR周長=P′P″，根據兩點之間線段最短可判斷此時△PQR周長最小，最小值為P′P″的長，再證明△P′OP″為等邊三角形得到P′P″=OP′=OP=10，從而得到△PQR周長的最小值

解：

作點P關于OB的對稱點P′，點P關于OA的對稱點P″，連接P′P″交OB于R，交OA于Q，連接PR、PQ，如圖3，
則OP=OP′，OP=OP″，RP=RP′，QP=QP″，
∴△PQR周長=PR+RQ+PQ=RP′+RQ+QP″=P′P″，
∴此時△PQR周長最小，最小值為P′P″的長，
∵由對稱性可知OP=OP′，OP=OP″，PP′⊥OB，PP″⊥OA，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠P′OP″=∠1+∠2+∠3+∠4=2∠2+2∠3=2∠BOA=60°，
∴△P′OP″為等邊三角形，
∴P′P″=OP′=OP=10，

故答案是：10.