Question

已知等邊△OAB的邊長為a，以AB邊上的高OA₁為邊，按逆時針方向作等邊△OA₁B₁，A₁B₁與OB相交于點A₂．
（1）求線段OA₂的長；
（2）若再以OA₂為邊，按逆時針方向作等邊△OA₂B₂，A₂B₂與OB₁相交于點A₃，按此作法進行下去，得到△OA₃B₃，△OA₄B₄，…△OA_nB_n（如圖）．求△OA₆B₆的周長．

Answer 1

分析：在等邊三角形中，由勾股定理可求得其一邊上的高與邊長的關系，根據(jù)圖形的變化規(guī)律即可求解．

解答：解：（1）OA₂=

3

2

OA₁=

3

2

×（

3

2

OA）（2分）
=

3

4

OA=

3

4

a（4分）

（2）依題意，OA₁=

3

2

OA、OA₂=

3

2

OA₁=（

3

2

）²OA
OA₃=

3

2

OA₂=（

3

2

）³OA（6分）
以此類推，OA₆=（

3

2

）⁶OA=

27

64

OA=

27

64

a（8分）
即△OA₆B₆的周長=3OA₆=

81

64

a．（9分）

點評：本題是找規(guī)律題，找到第n個等邊三角形的邊長與前一個等邊三角形的邊長的關系是解題的關鍵．