Question

已知等邊△OAB的邊長為a，以AB邊上的高OA₁為邊，按逆時針方向作等邊△OA₁B₁，A₁B₁與OB相交于點A₂．
（1）求線段OA₂的長；
（2）若再以O(shè)A₂為邊按逆時針方向作等邊△OA₂B₂，A₂B₂與OB₁相交于點A₃，按此作法進行下去，得到△OA₃B₃，△OA₄B₄，…，△OA_nB_n（如圖）．求△OA₆B₆的周長；
（3）直接寫出△OA_nB_n的周長．

Answer 1

分析：（1）在等邊三角形中，由勾股定理可求得其一邊上的高與邊長的關(guān)系，
（2）根據(jù)其一邊上的高與邊長的關(guān)系得出OA₆的長，即可得出三角形的周長，
（3）根據(jù)前面得出的結(jié)果找出圖形的變化規(guī)律即可求解．

解答：解：（1）OA2=

3

2

OA1=

3

2

×(

3

2

OA)，=

3

4

OA=

3

4

a；
（2）依題意，得OA1=

3

2

OA，
OA2=

3

2

OA1=(

3

2

)2OA，
OA3=

3

2

OA2=(

3

2

)3OA，
以此類推，OA6=(

3

2

)6OA=

27

64

OA=

27

64

a，l△OA6B6=3OA6=

81

64

a，即OA₆B₆的周長為

81

64

a，
（3）根據(jù)上面結(jié)果可知：OA_n=(

3

2

)na，
故△OA_nB_n的周長=3(

3

2

)na．

點評：本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，是找規(guī)律題，找到第n個等邊三角形的邊長與前一個等邊三角形的邊長的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，難度較大．