【題目】閱讀以下材料,并按要求完成相應(yīng)地任務(wù):
萊昂哈德·歐拉(Leonhard Euler)是瑞士數(shù)學(xué)家,在數(shù)學(xué)上經(jīng)常見(jiàn)到以他的名字命名的重要常數(shù),公式和定理,下面是歐拉發(fā)現(xiàn)的一個(gè)定理:在△ABC中,R和r分別為外接圓和內(nèi)切圓的半徑,O和I分別為其外心和內(nèi)心,則.下面是該定理的證明過(guò)程(部分):
延長(zhǎng)AI交⊙O于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)I作⊙O的直徑MN,連接DM,AN.
∵∠D=∠N,∴∠DMI=∠NAI(同弧所對(duì)的圓周角相等),
∴△MDI∽△ANI.∴,∴①
如圖2,在圖1(隱去MD,AN)的基礎(chǔ)上作⊙O的直徑DE,連接BE,BD,BI,IF
∵DE是⊙O的直徑,∴∠DBE=90°.
∵⊙I與AB相切于點(diǎn)F,∴∠AFI=90°,
∴∠DBE=∠IFA.
∵∠BAD=∠E(同弧所對(duì)圓周角相等),
∴△AIF∽△EDB.
∴,∴②
任務(wù):(1)觀察發(fā)現(xiàn):, (用含R,d的代數(shù)式表示);
(2)請(qǐng)判斷BD和ID的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.
(3)請(qǐng)觀察式子①和式子②,并利用任務(wù)(1),(2)的結(jié)論,按照上面的證明思路,完成該定理證明的剩余部分;
(4)應(yīng)用:若△ABC的外接圓的半徑為5cm,內(nèi)切圓的半徑為2cm,則△ABC的外心與內(nèi)心之間的距離為 cm.
【答案】((1)R-d;(2)BD=ID,理由見(jiàn)解析;(3)見(jiàn)解析;(4)cm
【解析】
(1)直接觀察可得;
(2)BD=ID,只要證明∠BID=∠DBI,由三角形內(nèi)心性質(zhì)和圓周角性質(zhì)即可得證;
(3)應(yīng)用(1)(2)結(jié)論即可;
(4)直接代入計(jì)算.
(1)∵O、I、N三點(diǎn)共線,
∴OI+IN=ON
∴IN=ON-OI=R-d
故答案為:R-d;
(2)BD=ID
理由如下:
如圖3,過(guò)點(diǎn)I作⊙O直徑MN,連接AI并延長(zhǎng)交⊙O于D,連接MD,BI,BD,
∵點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心
∴∠BAD=∠CAD,∠CBI=∠ABI
∵∠DBC=∠CAD,∠BID=∠BAD+∠ABI,∠DBI=∠DBC+∠CBI
∴∠BID=∠DBI
∴BD=ID
(3)由(2)知:BD=ID
∴IAID=DEIF
∵DEIF=IMIN
∴2Rr=(R+d)(R-d)
∴R2-d2=2Rr
∴d2=R2-2Rr
(4)由(3)知:d2=R2-2Rr;將R=5,r=2代入得:
d2=52-2×5×2=5,
∵d>0
∴d= .
故答案為:.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】菱形中,點(diǎn)為上一點(diǎn),連接.
如圖,若,菱形邊長(zhǎng)為,,連接,求的長(zhǎng).
如圖,連接對(duì)角線、相交于點(diǎn),點(diǎn)為的中點(diǎn),過(guò)作于,連接、.試判斷的形狀,并說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在矩形A′B′CD中,A′B′=10, B′C=8,以CD為直徑作⊙O.將矩形A′B′CD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn),使所得矩形ABCD′的邊AB與⊙O相切,切點(diǎn)為E.
(1)證明:CE平分∠BCD;
(2)求線段AE的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象相交于A(﹣1,m),B(n,﹣1)兩點(diǎn).
(1)求出這個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式.
(2)求△OAB的面積.
(3)直接寫(xiě)出使一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)值的x的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,點(diǎn)E是邊CD上一點(diǎn),且BC=EC,CF⊥BE交AB于點(diǎn)F,P是EB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),下列結(jié)論:①BE平分∠CBF;②CF平分∠DCB;③BC=FB;④PF=PC.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為( )
A.1B.2C.3D.4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在等腰△ABC中,AB=AC,BC=4,⊙O是△ABC的外接圓,若⊙O的半徑為4,則△ABC的面積為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下面的統(tǒng)計(jì)圖反映了我國(guó)出租車(巡游出租車和網(wǎng)約出租車)客運(yùn)量結(jié)構(gòu)變化.
(以上數(shù)據(jù)摘自《中國(guó)共享經(jīng)濟(jì)發(fā)展年度報(bào)告(2019)》)
根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息,下列推斷合理的是( )
A.2018年與2017年相比,我國(guó)網(wǎng)約出租車客運(yùn)量增加了20%以上
B.2018年,我國(guó)巡游出租車客運(yùn)量占出租車客運(yùn)總量的比例不足60%
C.2015年至2018年,我國(guó)出租車客運(yùn)的總量一直未發(fā)生變化
D.2015年至2018年,我國(guó)巡游出租車客運(yùn)量占出租車客運(yùn)總量的比例逐年增加
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(感知)小亮遇到了這樣一道題:已知如圖在中,在上,在的延長(zhǎng)上,交于點(diǎn),且,求證:.
小亮仔細(xì)分析了題中的已知條件后,如圖②過(guò)點(diǎn)作交于,進(jìn)而解決了該問(wèn)題.(不需要證明)
(探究)如圖③,在四邊形中,,為邊的中點(diǎn),與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn),試探究線段與之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
(應(yīng)用)如圖③,在正方形中,為邊的中點(diǎn),、分別為,邊上的點(diǎn),若=1,=,∠=90°,則的長(zhǎng)為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=2,BC=4,CD是△ABC的中線,E是邊BC上一動(dòng)點(diǎn),將△BED沿ED折疊,點(diǎn)B落在點(diǎn)F處,EF交線段CD于點(diǎn)G,當(dāng)△DFG是直角三角形時(shí),則CE=__________.
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