Question

15．如圖，拋物線y=ax²+2x-3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，且B（1，0）
（1）求拋物線的解析式和點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）如圖1，點(diǎn)P是直線y=x上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線y=x平分∠APB時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖2，已知直線y=$\frac{2}{3}$x-$\frac{4}{9}$分別與x軸、y軸交于C、F兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線CF下方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)Q作y軸的平行線，交直線CF于點(diǎn)D，點(diǎn)E在線段CD的延長線上，連接QE．問：以QD為腰的等腰△QDE的面積是否存在最大值？若存在，請求出這個(gè)最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）把B點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式可求得a的值，可求得拋物線解析式，再令y=0，可解得相應(yīng)方程的根，可求得A點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，連接AP交y軸于點(diǎn)B′，可證△OBP≌△OB′P，可求得B′坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線AP的解析式，聯(lián)立直線y=x，可求得P點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，同理可求得∠BPO=∠B′PO，又∠B′PO在∠APO的內(nèi)部，可知此時(shí)沒有滿足條件的點(diǎn)P；
（3）過Q作QH⊥DE于點(diǎn)H，由直線CF的解析式可求得點(diǎn)C、F的坐標(biāo)，結(jié)合條件可求得tan∠QDH，可分別用DQ表示出QH和DH的長，分DQ=DE和DQ=QE兩種情況，分別用DQ的長表示出△QDE的面積，再設(shè)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得△QDE的面積的最大值．

解答 解：
（1）把B（1，0）代入y=ax²+2x-3，
可得a+2-3=0，解得a=1，
∴拋物線解析式為y=x²+2x-3，
令y=0，可得x²+2x-3=0，解得x=1或x=-3，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0）；
（2）若y=x平分∠APB，則∠APO=∠BPO，
如圖1，若P點(diǎn)在x軸上方，PA與y軸交于點(diǎn)B′，

由于點(diǎn)P在直線y=x上，可知∠POB=∠POB′=45°，
在△BPO和△B′PO中
$\left\{\begin{array}{l}{∠POB=∠PO{B}^{′}}\\{OP=OP}\\{∠BPO=∠{B}^{′}PO}\end{array}\right.$，
∴△BPO≌△B′PO（ASA），
∴BO=B′O=1，
設(shè)直線AP解析式為y=kx+b，把A、B′兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可得
$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{b=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{3}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直線AP解析式為y=$\frac{1}{3}$x+1，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=\frac{1}{3}x+1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{2}}\\{y=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）；
若P點(diǎn)在x軸下方時(shí)，同理可得△AOP≌△B′OP，
∴∠BPO=∠B′PO，
又∠B′PO在∠APO的內(nèi)部，
∴∠APO≠∠BPO，即此時(shí)沒有滿足條件的P點(diǎn)，
綜上可知P點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）；
（3）如圖2，作QH⊥CF，交CF于點(diǎn)H，

∵CF為y=$\frac{2}{3}$x-$\frac{4}{9}$，
∴可求得C（$\frac{2}{3}$，0），F(xiàn)（0，-$\frac{4}{9}$），
∴tan∠OFC=$\frac{OC}{OF}$=$\frac{3}{2}$，
∵DQ∥y軸，
∴∠QDH=∠MFD=∠OFC，
∴tan∠HDQ=$\frac{3}{2}$，
不妨設(shè)DQ=t，DH=$\frac{2}{\sqrt{13}}$t，HQ=$\frac{3}{\sqrt{13}}$t，
∵△QDE是以DQ為腰的等腰三角形，
∴若DQ=DE，則S_△DEQ=$\frac{1}{2}$DE•HQ=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{\sqrt{13}}$t×t=$\frac{3\sqrt{13}}{26}$t²，
若DQ=QE，則S_△DEQ=$\frac{1}{2}$DE•HQ=$\frac{1}{2}$×2DH•HQ=$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{\sqrt{13}}$t×$\frac{3}{\sqrt{13}}$t=$\frac{6}{13}$t²，
∵$\frac{3\sqrt{13}}{26}$t²＜$\frac{6}{13}$t²，
∴當(dāng)DQ=QE時(shí)△DEQ的面積比DQ=DE時(shí)大．
設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x²+2x-3），則D（x，$\frac{2}{3}$x-$\frac{4}{9}$），
∵Q點(diǎn)在直線CF的下方，
∴DQ=t=$\frac{2}{3}$x-$\frac{4}{9}$-（x²+2x-3）=-x²-$\frac{4}{3}$x+$\frac{23}{9}$，
當(dāng)x=-$\frac{2}{3}$時(shí)，t_max=3，
∴（S_△DEQ）_max=$\frac{6}{13}$t²=$\frac{54}{13}$，
即以QD為腰的等腰三角形的面積最大值為$\frac{54}{13}$．

點(diǎn)評 本題主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及知識點(diǎn)有待定系數(shù)法、角平分線的定義、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積、等腰三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)及分類討論等．在（2）中確定出直線AP的解析式是解題的關(guān)鍵，在（3）中利用DQ表示出△QDE的面積是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，計(jì)算量大，難度較大．