Question

如圖：點D在線段AB的延長線上，把AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到AC，連接CD，點E在CD上，BF∥CD交直線AE于點F，∠AEC=60°，AF=2

3

，CE=5，則AE的長為

 

．

Answer 1

考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),解直角三角形

專題：

分析：過點C作CN⊥DC交EA的延長線于點N，過點A作AM⊥EN于點A，交CN于點M，就可以得出∠ACM=∠ABF，∠CAM=∠BAE，就可以得出△ACM≌△ABF，就有∠AMC=∠AFB=120°，有∠AMN=60°，就可以得出美女HEAN的值，在Rt△NCE中由勾股定理就可以求出EN的值，從而求出AE的值．

解答：解：過點C作CN⊥DC交EA的延長線于點N，過點A作AM⊥EN于點A，交CN于點M，
∴∠DCN=∠MAN=∠EAM=90°．
∴∠CAM+∠CAE=90°，∠ACN+∠ACE=90°
∵AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到AC，
∴∠DAC=90°，
∴∠DAE+∠EAC=90°，∠D+∠ACE=90°，
∴∠ACN=∠D．
∵∠AEC=60°，
∴∠AED=120°．
∵BF∥CD，
∴∠ABF=∠D，∠AFB=∠AED．
∴∠ACN=∠ABF．∠AFB=120°．
在△ACM和△ABF中

∠ACN=∠ABF AC=AB ∠CAM=∠DAE

，
∴△ACM≌△ABF（ASA），
∴∠AMC=∠AFB，AM=AF．
∴∠AMC=120°，
∴∠AMN=60°，
∴∠N=30°，
∴EN=2EC，MN=2AM
∵AF=2

3

，CE=5
∴AM=2

3

，MN=4

3

，EN=10，
在Rt△AMN中，由勾股定理，得
AN=6．
∵AE=EN-AN，
∴AE=10-6=4．
故答案為4．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的運用，勾股定理的運用，平行線的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，直角三角形的性質(zhì)的運用，解答時證明作輔助線證明三角形全等是關(guān)鍵．