Question

【題目】如圖1，拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)A（﹣1，0），B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，連結(jié)BC，點(diǎn)P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線l，交直線BC于點(diǎn)G，交x軸于點(diǎn)E．

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）當(dāng)P位于y軸右邊的拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥直線l，F(xiàn)為垂足，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，以P，C，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形與△OBC相似？并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在位于直線BC上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連結(jié)PC，PB，請(qǐng)問(wèn)△PBC的面積S能否取得最大值？若能，請(qǐng)求出最大面積S，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y=﹣x2+3x+4．（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，6）或（4，0）．（3）△PBC的面積的最大值為8．

【解析】試題分析：（1）將點(diǎn)A（-1，0），B（4，0）的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，求得b、c的值即可；

（2）先由函數(shù)解析式求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，從而得到△OBC為等腰直角三角形，故此當(dāng)CF=PF時(shí)，以P，C，F為頂點(diǎn)的三角形與△OBC相似．

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，-a2+3a+4）．則CF=a，PF=-a2+3a，接下來(lái)列出關(guān)于a的方程，從而可求得a的值，于是可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）連接EC．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，-a2+3a+4）．則OE=a，PE=-a2+3a+4，EB=4-a．然后依據(jù)S△PBC=S四邊形PCEB-S△CEB列出△PBC的面積與a的函數(shù)關(guān)系式，從而可求得三角形的最大面積．

試題解析：（1）將點(diǎn)A（-1，0），B（4，0）的坐標(biāo)代入函數(shù)的表達(dá)式得：

，

解得：b=3，c=4．

拋物線的解析式為y=-x2+3x+4．

（2）如圖1所示：

∵令x=0得y=4，

∴OC=4．

∴OC=OB．

∵∠CFP=∠COB=90°，

∴FC=PF時(shí)，以P，C，F為頂點(diǎn)的三角形與△OBC相似．

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，-a2+3a+4）（a＞0）．

則CF=a，PF=|-a2+3a+4-4|=|a2-3a|．

∴|a2-3a|=a．

解得：a=2，a=4．

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，6）或（4，0）．

（3）如圖2所示：連接EC．

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，-a2+3a+4）．則OE=a，PE=-a2+3a+4，EB=4-a．

∵S四邊形PCEB=OBPE=×4（-a2+3a+4），S△CEB=EBOC=×4×（4-a），

∴S△PBC=S四邊形PCEB-S△CEB=2（-a2+3a+4）-2（4-a）=-2a2+8a．

∵a=-2＜0，

∴當(dāng)a=2時(shí)，△PBC的面積S有最大值．

∴P（2，6），△PBC的面積的最大值為8．