Question

15．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B（-2，2），過反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＜0，常數(shù)k＜0）圖象上一點(diǎn)A（-$\frac{1}{2}$，m）作y軸的平行線交直線l：y=x+2于點(diǎn)C，且AC=AB．

（1）分別求出m、k的值，并寫出這個(gè)反比例函數(shù)解析式；
（2）發(fā)現(xiàn)：過函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＜0）圖象上任意一點(diǎn)P，作y軸的平行線交直線l于點(diǎn)D，請(qǐng)直接寫出你發(fā)現(xiàn)的PB，PD的數(shù)量關(guān)系PB=PD；
應(yīng)用：①如圖2，連接BD，當(dāng)△PBD是等邊三角形時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②如圖3，分別過點(diǎn)P、D作y的垂線交y軸于點(diǎn)E、F，問是否存在點(diǎn)P，使得矩形PEFD的周長(zhǎng)取得最小值？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)及矩形PEFD的周長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出AC、AB的表達(dá)式，根據(jù)AC=AB求出m的值，然后利用待定系數(shù)法求出k的值即可；
（2）設(shè)P（-m，$\frac{2}{m}$）（m＞0），則D（-m，-m+2），根據(jù)勾股定理求出PB的長(zhǎng)即可；①由△PBD是等邊三角形，于是得到PB=BD=PD，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到（2-m）=$\frac{1}{2}$$\sqrt{3}$（$\frac{2}{m}$+m-2）解得：m=3-$\sqrt{3}$，或m=$\sqrt{3}$-1，于是得到P（$\sqrt{3}$-3，$\frac{3-\sqrt{3}}{3}$）或P（1-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$+1）；②根據(jù)矩形的周長(zhǎng)的計(jì)算公式得到矩形PEFD的周長(zhǎng)=（$\frac{2}{\sqrt{m}}$-$\sqrt{m}$）²+4，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）AC=m-$\frac{3}{2}$，AB=$\sqrt{\frac{9}{4}+（m-2）^{2}}$，
∵AC=AB，
∴m=4，
∴點(diǎn)A（-$\frac{1}{2}$4），
∴k=-2，
∴y=-$\frac{2}{x}$（x＜0）；

（2）設(shè)P（-m，$\frac{2}{m}$）（m＞0），則D（-m，-m+2），
∴PD=$\frac{2}{m}$-（-m+2）=$\frac{2}{m}$+m-2，
BP=$\sqrt{（m+2）^{2}+（-\frac{2}{m}-2）^{2}}$=$\sqrt{（\frac{2}{m}+m-2）^{2}}$=$\frac{2}{m}$+m-2，
∴PD=PB；
故答案為：PB=PD；
①∵△PBD是等邊三角形，
∴PB=BD=PD，
∵PD∥y軸，
∴（2-m）=$\frac{1}{2}$$\sqrt{3}$（$\frac{2}{m}$+m-2）
∴$\frac{2}{m}$+m-2=$\sqrt{（m+2）^{2}+（m+2-2）^{2}}$，
∴m=3-$\sqrt{3}$，或m=$\sqrt{3}$-1，
∴P（1-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$+1）；
②答：存在滿足題設(shè)條件的點(diǎn)P．
設(shè)P（-m，$\frac{2}{m}$）（m＞0），則D（-m，-m+2），
∴矩形PEFD的周長(zhǎng)=2（PD+PE）=2（$\frac{2}{m}$+m-2+m）=$\frac{4}{m}$+4m-4=（$\frac{2}{\sqrt{m}}$-$\sqrt{m}$）²+3m，
∴當(dāng)$\frac{2}{\sqrt{m}}$-$\sqrt{m}$=0，即m=2時(shí)，P（-1，2）時(shí)，矩形PEFD的周長(zhǎng)取得最小值為4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)綜合題，涉及勾股定理、存在性問題，綜合性很強(qiáng)，要靈活處理，同時(shí)注意從多角度解題．