Question

【題目】如圖所示，已知拋物線的圖像經過點A(1,0),B(0,5),

（1）求這個拋物線的解析式；

（2）設（1）中的拋物線與x軸的另一個交點為C,求出點C的坐標；并確定在拋物線上是否存在一點E,使△BCE是以BC為斜邊的直角三角形？若存在，在圖中做出所有的點E（不寫畫法，保留作圖痕跡）；若不存在，說明理由；

（3）點P是直線BC上的一個動點（P點不與B點和C點重合），過點P做x軸的垂線，交拋物線于點M,點Q在直線BC上，距離點P為個單位長度，設點P的橫坐標為t，△PMQ的面積為S，求出S與t之間的函數關系式。

Answer 1

【答案】（1）；（2）點C的坐標是（－5，0），存在，圖形詳見解析；（3）．

【解析】

（1）將點A、點B的坐標代入拋物線解析式可得出b、c的值，繼而得出拋物線解析式；

（2）根據拋物線解析式求出點C的坐標，以BC的中點D為圓心，以BC為半徑畫圓，與拋物線有兩個交點E和E′；

（3）由點B的坐標為（0，5），點C的坐標為（-5，0），可得直線BC的解析式為y=x+5．

設P的坐標為（t，t+5），則點M的坐標（t，）．過點Q作QF⊥PM于點F，則△PQF為等腰直角三角形，得到QF=1.然后分兩種情況討論：①當點P在點M下方時，即-5﹤t﹤0時，②當點P在點M上方時，t﹤-5或t＞0時，分別表示出PM，然后求出△PMQ的面積即可．

（1）將點A（1，0）、點B（0，5）代入拋物線y=﹣x2+bx+c可得：，解得：，故拋物線解析式為：y=﹣x2﹣4x+5．

（2）由y=﹣x2﹣4x+5，令y=0，得：﹣x2﹣4x+5=0，解得：x1=﹣5，x2=1，則點C的坐標為（﹣5，0），若在拋物線上存在點E，使△BCE是以BC為斜邊的直角三角形，則∠BEC=90°，即點E是以BC為直徑的圓與拋物線的交點．如圖：

（3）由點B的坐標為（0，5），點C的坐標為（-5，0），∴可得直線BC的解析式為y=x+5．

∵點P的橫坐標為t，PM⊥x軸，∴點M的橫坐標為t．

又點P在直線BC上，點M在拋物線上，∴所以點P的坐標為（t，t+5），點M的坐標（t，）．

過點Q作QF⊥PM于點F，則△PQF為等腰直角三角形．

∵ ∴QF=1．

當點P在點M下方時，即-5﹤t﹤0時，如圖1，，∴；

當點P在點M上方時，t﹤-5或t＞0時，如圖2，圖3，，∴．

綜上所述：．