Question

已知四邊形ABCD是平行四邊形，對(duì)下列條件 ①∠A=90°，②∠BAC=∠DAC，③OA=OB，④AC⊥BD，分別用序號(hào)寫在四張卡片上，如果從四張卡片中隨機(jī)抽出兩張．
（1）當(dāng)抽得的卡片序號(hào)是①和②時(shí)，用①和②作為條件，是否能夠得到平行四邊形ABCD是正方形？若能，請(qǐng)證明；若不能，請(qǐng)說明理由；
（2）請(qǐng)用枚舉法表示抽取的兩張卡片的所有可能結(jié)果（用序號(hào)表示），并求出以抽取的兩張卡片上的條件可以使平行四邊形ABCD是正方形的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：列表法與樹狀圖法,平行四邊形的判定,正方形的判定

專題：

分析：（1）由四邊形ABCD是平行四邊形，∠A=90°，可得四邊形ABCD是矩形，繼而證得BA=BC，則可得四邊形ABCD是正方形；
（2）首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與以抽取的兩張卡片上的條件可以使平行四邊形ABCD是正方形的情況，再利用概率公式即可求得答案．

解答：解：（1）抽取①和②時(shí)，?ABCD能成為正方形．
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠A=90°，
∴四邊形ABCD是矩形（有一個(gè)角為90°的平行四邊形是矩形），
∴∠ABC=90°，
又∵∠BAC=∠DAC，∠A=90°，
∴∠BAC=45°．
∴∠BCA=180°-90°-45°=45°，
∴BA=BC，
∴四邊形ABCD是正方形（一組鄰邊相等的矩形是正方形）；

（2）畫樹狀圖得：

∵共有12個(gè)等可能結(jié)果，其中能使?ABCD成為正方形的有8個(gè)．
設(shè)事件A：能使□ABCD成為正方形，
∴P（A）=

8

12

=

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率與正方形的判定．列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．