Question

1．已知正方形ABCD中，E為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，過(guò)E點(diǎn)作EF⊥BD交BC于F，連接DF，G為DF中點(diǎn)，連接EG，CG．
（1）求證：EG=CG；EG⊥CG．
（2）將圖①中△BEF繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，如圖②所示，取DF中點(diǎn)G，連接EG，CG．問(wèn)（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．  

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)以及三角形外角定理即可證明．
（2）作GM⊥BC于M，⊥AB于N交CD于H，只要證明△GNE≌△GMC即可解決問(wèn)題．

解答 證明：（1）如圖①中，∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BCD=∠ADC=90°，∠BDC=$\frac{1}{2}∠ADC=45°$，
∵EF⊥BD，
∴∠DEF=90°，
∵GF=GD，
∴EG=DG=GF=$\frac{1}{2}$DF，GC=DG=GF=$\frac{1}{2}$DF，
∴EG=GC，∠GED=∠GDE，∠GCD=∠GDC，
∵∠EGF=∠GED+∠GDE=2∠EDG，∠CGF=∠GCD+∠GDC=2∠GDC，
∴∠EGC=∠EGF+∠CGF=2∠EDG+2∠GDC=2（∠EDG+∠GDC）=90°，
∴EG⊥GC．
（2）圖②中，結(jié)論仍然成立．
理由：作GM⊥BC于M，⊥AB于N交CD于H．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=∠ADC=90°，∠ABD=∠DBC=∠BDC=45°
∴GM=GN，
∵∠A=∠ANG=∠ADH=90°，
∴四邊形ANHD是矩形，
∴∠DHN=90°，∠GDH=∠HGD=45°，
∴HG=DH=AN，同理GH=CM，
∵∠ENG=∠A=∠BEF=90°，
∴EF∥GN∥AD，∵GF=GD，
∴AN=NE=GH=MC，
在△GNE和△GMC中，
$\left\{\begin{array}{l}{GN=GM}\\{∠GNE=∠GMC=90°}\\{NE=MC}\end{array}\right.$，
∴△GNE≌△GMC，
∴GE=GC，∠NGE=∠MGC，
∴∠EGC=∠NGM=90°，
∴EG⊥GC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬于中考�？碱}型．